Mathematics & Numerical Analysis Practice Questions (Q141-144) - Statistical Sciences

141

ICAR PG Statistical Sciences 09 Jul 2023Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

The formula to solve simple non-linear equation $f(x) = 0$ by Newton's Raphson Method is given by :

न्यूटन-रैफसन विधि (Newton-Raphson Method) द्वारा सरल गैर-रैखिक समीकरण $f(x) = 0$ को हल करने का सूत्र है :

$x_{n+1} = x_n - \frac{f'(x_n)}{f(x_n)}$ $x_{n+1} = x_n - \frac{f'(x_n)}{f(x_n)}$ $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ $x_{n+1} = f(x_n) - \frac{f''(x_n)}{f'(x_n)}$ $x_{n+1} = f(x_n) - \frac{f''(x_n)}{f'(x_n)}$ $x_{n+1} = f(x_n) - \frac{f'(x_n)}{f''(x_n)}$ $x_{n+1} = f(x_n) - \frac{f'(x_n)}{f''(x_n)}$

142

ICAR PG Statistical Sciences 14 Jul 2023Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

If $\Delta$ and $\nabla$ be the first forward difference and first backward difference operator respectively of a function $f(x)$, then the expression $(\Delta - \nabla)$ is equivalent to :

यदि $\Delta$ और $\nabla$ किसी फलन $f(x)$ के क्रमशः प्रथम अग्रिम अंतर तथा प्रथम पश्च अंतर संकारक हैं, तो व्यंजक $(\Delta - \nabla)$ किसके समतुल्य है?

$\frac{\Delta}{\nabla}$ $\frac{\Delta}{\nabla}$ $\Delta^2$ $\Delta^2$ $\Delta\nabla$ $\Delta\nabla$ $\left(\frac{1}{\Delta} - \frac{1}{\nabla}\right)$ $\left(\frac{1}{\Delta} - \frac{1}{\nabla}\right)$

Operator relations in numerical analysis:
In terms of the shift operator $E$:
Forward difference: $\Delta = E - 1$.
Backward difference: $\nabla = 1 - E^{-1}$.
Evaluating $\Delta - \nabla$:
$\Delta - \nabla = (E - 1) - (1 - E^{-1}) = E - 2 + E^{-1}$.
Evaluating $\Delta \nabla$:
$\Delta \nabla = (E - 1)(1 - E^{-1}) = E(1 - E^{-1}) - 1(1 - E^{-1}) = E - 1 - 1 + E^{-1} = E - 2 + E^{-1}$.

Therefore, $\Delta - \nabla = \Delta \nabla$. Option breakdown:

$\frac{\Delta}{\nabla} = E$, which does not equal $E - 2 + E^{-1}$.
$\Delta^2 = (E-1)^2 = E^2 - 2E + 1$.
$\Delta\nabla$ is identically equal to $\Delta - \nabla$.
$\left(\frac{1}{\Delta} - \frac{1}{\nabla}\right)$ is not equal to $\Delta - \nabla$.

संख्यात्मक विश्लेषण में अंतर संकारकों के संबंध:
विस्थापन संकारक $E$ के पदों में:
अग्रिम अंतर संकारक: $\Delta = E - 1$.
पश्च अंतर संकारक: $\nabla = 1 - E^{-1}$.
व्यंजक $\Delta - \nabla$ का प्रसार:
$\Delta - \nabla = (E - 1) - (1 - E^{-1}) = E - 2 + E^{-1}$.
गुणनफल $\Delta \nabla$ का प्रसार:
$\Delta \nabla = (E - 1)(1 - E^{-1}) = E - 1 - 1 + E^{-1} = E - 2 + E^{-1}$.

अतः $\Delta - \nabla = \Delta \nabla$. विकल्पों का विश्लेषण:

$\frac{\Delta}{\nabla}$ संकारक $E$ के बराबर होता है।
$\Delta^2$ द्वितीय अग्रिम अंतर है।
$\Delta\nabla$ बिल्कुल सही और मानक सर्वसमिका है।
अमान्य है।

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143

ICAR PG Statistical Sciences 14 Jul 2023Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

While applying Simpson's three eighth rule for numerical integration, the number of sub-intervals should be taken as multiple of :

संख्यात्मक समाकलन के लिए सिम्पसन के तीन-आठवें ($3/8$) नियम को लागू करते समय, उप-अंतरालों की संख्या को किसका गुणज लिया जाना चाहिए?

$2$ $2$ $3$ $3$ $8$ $8$ $6$ $6$

Requirements for Newton-Cotes numerical quadrature formulas:

Trapezoidal Rule: Number of sub-intervals $n$ can be any positive integer (multiple of 1).
Simpson's 1/3 Rule: Based on quadratic interpolation, requires $n$ to be an even number (multiple of 2).
Simpson's 3/8 Rule: Based on cubic polynomials fitting four points (three sub-intervals at a time), requires the total number of sub-intervals $n$ to be a multiple of 3.
Weddle's Rule: Requires $n$ to be a multiple of 6.

Option breakdown:
Multiple of 2 applies to Simpson's 1/3 rule.
Multiple of 3 is the exact condition for Simpson's 3/8 rule.
Multiple of 8 is not a requirement.
Multiple of 6 applies to Weddle's rule.

संख्यात्मक समाकलन नियमों के लिए उप-अंतरालों की आवश्यकताएँ:

समलम्बीय नियम: उप-अंतरालों की संख्या कोई भी पूर्णांक हो सकती है।
सिम्पसन का $1/3$ नियम: परवलयिक अंतर्वेशन पर आधारित, उप-अंतरालों की संख्या सम (2 का गुणज) होनी चाहिए।
सिम्पसन का $3/8$ नियम: त्रिघात बहुपद पर आधारित, तीन-तीन अंतरालों के संयोजन हेतु उप-अंतरालों की संख्या 3 का गुणज होनी चाहिए।
वेडल का नियम: 6 का गुणज होना आवश्यक है।

विकल्पों का विश्लेषण:
का गुणज सिम्पसन $1/3$ नियम के लिए होता है।
का गुणज सिम्पसन $3/8$ नियम की अनिवार्य शर्त है।
8 का गुणज अमान्य है।
6 का गुणज वेडल के नियम के लिए होता है।

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144

ICAR PG Statistical Sciences 14 Jul 2023Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

The technique of estimating the value of a function for any intermediate value of the given independent variable is :

दिए गए स्वतंत्र चर के किसी मध्यवर्ती मान के लिए फलन के मान का अनुमान लगाने की तकनीक कहलाती है:

Leibnitz rule लाइबनिट्ज़ नियम Extrapolation बहिर्वेशन Interpolation अंतर्वेशन Trapezoidal rule समलम्बीय नियम

Definitions in numerical methods:

Interpolation is the mathematical art/technique of estimating unknown values of a dependent variable $y = f(x)$ for an intermediate value of the independent variable $x$ falling inside the range of known data points.
Extrapolation is the process of estimating values outside the given range of tabulated data.
Leibnitz rule is used for differentiation under the integral sign or finding the nth derivative of a product.
Trapezoidal rule is a numerical quadrature method for evaluating definite integrals.

Option breakdown:
Leibnitz rule is a calculus differentiation theorem.
Extrapolation estimates values outside the known data range.
Interpolation is the precise definition of estimating values within the given range.
Trapezoidal rule is a numerical integration technique.

संख्यात्मक विधियों की मूलभूत परिभाषाएँ:

अंतर्वेशन (Interpolation) ज्ञात आँकड़ों के परिसर के भीतर किसी मध्यवर्ती मान पर फलन के मान का अनुमान लगाने की तकनीक है।
बहिर्वेशन (Extrapolation) ज्ञात परिसर से बाहर के मानों का अनुमान लगाने की विधि है।
लाइबनिट्ज़ नियम गुणांकों के अवकलन अथवा समाकलन चिन्ह के अंतर्गत अवकलन हेतु प्रयुक्त होता है।
समलम्बीय नियम संख्यात्मक समाकलन की विधि है।

विकल्पों का विश्लेषण:
लाइबनिट्ज़ नियम अवकलन का प्रमेय है।
बहिर्वेशन परिसर से बाहर के मानों के लिए होता है।
अंतर्वेशन दिए गए मध्यवर्ती मान के आकलन की सही तकनीक है।
समलम्बीय नियम समाकलन हेतु प्रयुक्त होता है।