Let A and B be two invertible matrices, then which of the following is true ?
मान लीजिए A और B दो व्युत्क्रमणीय आव्यूह (Invertible matrices) हैं, तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है?
EXPLANATION
Matrices & Linear Algebra
Analysis of matrix inversion properties:
- Incorrect: The inverse $A^{-1}$ of an invertible matrix is always invertible because $\det(A^{-1}) = 1/\det(A) \ne 0$.
- Correct: Inverting the inverse matrix returns the original matrix: $(A^{-1})^{-1} = A$.
- Incorrect: Inversion follows the reversal law: $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$.
- Incorrect: An involution returns $A$, not $A^{-1}$.
व्युत्क्रम आव्यूह के गुणधर्मों का विश्लेषण:
- गलत: किसी व्युत्क्रमणीय आव्यूह का व्युत्क्रम $A^{-1}$ सदैव व्युत्क्रमणीय होता है।
- सही: किसी व्युत्क्रम आव्यूह का पुनः व्युत्क्रम लेने पर मूल आव्यूह ही प्राप्त होता है:
$$(A^{-1})^{-1} = A$$ - गलत: गुणनफल के व्युत्क्रम में उत्क्रमण नियम लागू होता है: $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$।
- गलत: यह मूल आव्यूह $A$ देता है।
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