गणित एवं संख्यात्मक विश्लेषण Practice Questions (Q51-55) - Statistical Sciences

ICAR PG Statistical Sciences 09 Jul 2023Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

Let A = [[1, 2, 0, -1], [2, 6, -3, -3], [3, 10, -6, -5]], then rank of matrix A is :

मान लीजिए A = [[1, 2, 0, -1], [2, 6, -3, -3], [3, 10, -6, -5]], तो आव्यूह A की जाति (Rank) क्या होगी?

0 0 2 2 4 4 3 3

Row reduction of matrix A:
Given matrix:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 \\ 2 & 6 & -3 & -3 \\ 3 & 10 & -6 & -5 \end{bmatrix}$$

Apply elementary row operations:

$R_2 \to R_2 - 2R_1$:
$$R_2 = [2-2, 6-4, -3-0, -3 - (-2)] = [0, 2, -3, -1]$$
$R_3 \to R_3 - 3R_1$:
$$R_3 = [3-3, 10-6, -6-0, -5 - (-3)] = [0, 4, -6, -2]$$
Now observe $R_3 = 2 R_2$. Apply $R_3 \to R_3 - 2R_2$:
$$R_3 = [0-0, 4-4, -6 - (-6), -2 - (-2)] = [0, 0, 0, 0]$$
The row echelon form is:
$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$
There are exactly 2 non-zero linearly independent rows. Thus, $\text{rank}(A) = 2$.
Incorrect: Rank 0 applies only to the null matrix.
Correct: Rank is exactly 2.
Incorrect: Rank cannot exceed the row count (3).
Incorrect: Row 3 is a linear combination of Row 1 and Row 2, so rank cannot be 3.

प्रारंभिक पंक्ति संक्रियाओं द्वारा आव्यूह जाति (Rank) की गणना:
दिया गया आव्यूह:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 \\ 2 & 6 & -3 & -3 \\ 3 & 10 & -6 & -5 \end{bmatrix}$$

पंक्ति संक्रियाएं करने पर:

$R_2 \to R_2 - 2R_1 \implies R_2 = [0, 2, -3, -1]$
$R_3 \to R_3 - 3R_1 \implies R_3 = [0, 4, -6, -2]$
$R_3 \to R_3 - 2R_2 \implies R_3 = [0, 0, 0, 0]$
इशेलॉन रूप में अशून्य पंक्तियों की संख्या ठीक 2 है।

अतः आव्यूह A की जाति $\text{Rank}(A) = 2$ है।

गलत: केवल शून्य आव्यूह की रैंक 0 होती है।
सही: अशून्य पंक्तियों की संख्या 2 है, अतः जाति 2 है।
गलत: पंक्तियों की कुल संख्या 3 है, अतः रैंक 4 नहीं हो सकती।
गलत: तीसरी पंक्ति अन्य पंक्तियों पर आश्रित है, अतः रैंक 3 नहीं हो सकती।

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ICAR PG Statistical Sciences 09 Jul 2023Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

Let W1 and W2 are two subspaces of a vector space V over the field F, then :

मान लीजिए W1 और W2 क्षेत्र F पर किसी सदिश समष्टि V की दो उप-समष्टियाँ (Subspaces) हैं, तो :

W1 + W2 not subspace of V W1 + W2 V की उप-समष्टि नहीं है W1 U W2 is always subspace of V W1 U W2 सदैव V की उप-समष्टि होती है W1 cap W2 is always subspace of V W1 cap W2 सदैव V की उप-समष्टि होती है W1 and W2 are always orthogonal W1 और W2 सदैव लंबकोणीय होते हैं

ICAR PG Statistical Sciences 09 Jul 2023Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

Let B = [[5, -9, 6], [0, 2, 3], [0, 0, 7]], then its reduced echelon form is :

मान लीजिए B = [[5, -9, 6], [0, 2, 3], [0, 0, 7]], तो इसका समानीकृत इशेलॉन रूप (Reduced echelon form) क्या होगा?

[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]] [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]] [[1, 0, 0], [0, 0, 1], [0, 1, 0]] [[1, 0, 0], [0, 0, 1], [0, 1, 0]] [[5, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]] [[5, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]] [[1, -9, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]] [[1, -9, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]

Row reduction of matrix B to RREF:
Given upper triangular matrix:

$$B = \begin{bmatrix} 5 & -9 & 6 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix}$$

Determinant is $\det(B) = 5 \times 2 \times 7 = 70 \ne 0$. Because $\det(B) \ne 0$, matrix $B$ is non-singular of full rank 3.
By Gauss-Jordan elimination:

Divide each row by its pivot: leading entries become 1.
Eliminate entries above pivots: all off-diagonal entries become 0.
Every non-singular square matrix has a unique Reduced Row Echelon Form equal to the identity matrix $I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
Correct: Identity matrix $I_3$.
Incorrect: Permuted identity matrix.
Incorrect: Leading entry in row 1 must be 1, not 5.
Incorrect: Off-diagonal elements above pivots must be zero in reduced echelon form.

समानीकृत इशेलॉन रूप (RREF) की गणना:
दिया गया ऊपरी त्रिभुजीय आव्यूह:

$$B = \begin{bmatrix} 5 & -9 & 6 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix}$$

सारणिक $\det(B) = 5 \times 2 \times 7 = 70 \ne 0$ होने के कारण यह एक व्युत्क्रमणीय (Non-singular) आव्यूह है जिसकी जाति 3 है।
गॉस-जॉर्डन विलोपन विधि द्वारा:

प्रत्येक पंक्ति के मुख्य अवयव को 1 बनाया जाता है।
मुख्य अवयवों के ऊपर और नीचे के सभी अवयवों को शून्य बनाया जाता है।

अतः किसी भी व्युत्क्रमणीय वर्ग आव्यूह का समानीकृत इशेलॉन रूप सदैव तत्समक आव्यूह (Identity matrix $I_3$) होता है: $$I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

सही: तत्समक आव्यूह $I_3$ सही उत्तर है।
गलत: यह पंक्तियों के क्रमपरिवर्तन से युक्त है।
गलत: RREF में मुख्य प्रविष्टि 1 होनी चाहिए।
गलत: इसमें $-9$ अवयव शून्य नहीं किया गया है।

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ICAR PG Statistical Sciences 09 Jul 2023Shift 1

Match the Following +4 −1

Let $\mathbb{R}^n = V$ be a vector space over the field of real numbers, then which of the following is a subspace ?

माना कि वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र पर $\mathbb{R}^n = V$ एक सदिश समष्टि (vector space) है, तो निम्न में से कौन सा एक उपसमष्टि (subspace) है?

$W = \{(a_1, a_2, \dots, a_n) \mid \sum_{i=1}^n a_i = 0\}$ $W = \{(a_1, a_2, \dots, a_n) \mid \sum_{i=1}^n a_i = 0\}$ $W = \{(a_1, a_2, \dots, a_n) \mid a_1 a_n > 0\}$ $W = \{(a_1, a_2, \dots, a_n) \mid a_1 a_n > 0\}$ $W = \{(a_1, a_2, \dots, a_n) \mid \frac{a_1}{a_2} = \lambda; \, \lambda \in \mathbb{R}\}$ $W = \{(a_1, a_2, \dots, a_n) \mid \frac{a_1}{a_2} = \lambda; \, \lambda \in \mathbb{R}\}$ $W = \{(a_1, a_2, \dots, a_n) \mid a_i \ge 0 \, \forall i = 1, 2, 3, \dots, n\}$ $W = \{(a_1, a_2, \dots, a_n) \mid a_i \ge 0 \, \forall i = 1, 2, 3, \dots, n\}$

A subset $W$ of a vector space $V$ is a subspace if and only if:

The zero vector $\mathbf{0} \in W$.
It is closed under vector addition: $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W \implies \mathbf{u} + \mathbf{v} \in W$.
It is closed under scalar multiplication: $c \in \mathbb{R}, \mathbf{u} \in W \implies c\mathbf{u} \in W$.
For $W = \{(a_1, \dots, a_n) \mid \sum a_i = 0\}$:
Condition: $\sum 0 = 0 \implies \mathbf{0} \in W$.
Condition: If $\sum u_i = 0$ and $\sum v_i = 0$, then $\sum (u_i + v_i) = \sum u_i + \sum v_i = 0$.
Condition: $\sum c u_i = c \sum u_i = 0$.

Hence, it is a valid linear subspace. Detailed analysis of options:

$W = \{(a_1, \dots, a_n) \mid \sum a_i = 0\}$ satisfies all subspace axioms and is correct.
$W = \{(a_1, \dots, a_n) \mid a_1 a_n \gt 0\}$ does not contain the zero vector (since $0 \cdot 0 = 0 \ngtr 0$).
Fails because it excludes vectors with $a_2 = 0$ (undefined division), so $\mathbf{0} \notin W$.
$W = \{(a_1, \dots, a_n) \mid a_i \ge 0\}$ is not closed under scalar multiplication by negative scalars.

सदिश समष्टि $V$ का एक उपसमुच्चय $W$ एक उपसमष्टि (subspace) होता है यदि और केवल यदि:

शून्य सदिश $\mathbf{0} \in W$ हो।
यह सदिश योग के अंतर्गत संवृत (closed under addition) हो।
यह अदिश गुणन के अंतर्गत संवृत (closed under scalar multiplication) हो।
$W = \{(a_1, \dots, a_n) \mid \sum a_i = 0\}$ के लिए:
- $\sum 0 = 0$, अतः $\mathbf{0} \in W$ है।
यदि $\sum u_i = 0$ और $\sum v_i = 0$, तो $\sum (u_i + v_i) = 0$ होगा।
$\sum c u_i = c \cdot 0 = 0$ होगा।

अतः यह एक वैध उपसमष्टि है। विकल्पों का विस्तृत विश्लेषण:

$W = \{(a_1, \dots, a_n) \mid \sum a_i = 0\}$ उपसमष्टि के सभी नियमों को संतुष्ट करता है, अतः सही है।
इसमें शून्य सदिश नहीं है ($0 \cdot 0 = 0 \ngtr 0$)।
$a_2 = 0$ पर अपरिभाषित है, अतः शून्य सदिश इसमें नहीं है।
ऋणात्मक अदिशों से गुणा करने पर संवृत नहीं रहता।

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ICAR PG Statistical Sciences 09 Jul 2023Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

A toy manufacturer produces an inexpensive doll (flopsy) and an expensive doll (mopsy) in units of $x$ hundreds and $y$ hundreds respectively. Suppose it is possible to produce the doll in such a way that $y = \frac{82-10x}{10-x}, 0 \le x \le 8$ and that the company receives twice as much for selling a mopsy doll as for selling a flopsy doll. The level of production for both flopsy and mopsy dolls for which the total revenue derived from selling these dolls is maximized is given by :

एक खिलौना निर्माता एक सस्ती गुड़िया (flopsy) और एक महंगी गुड़िया (mopsy) का उत्पादन क्रमशः $x$ सैकड़ों और $y$ सैकड़ों इकाइयों में करता है। मान लें कि गुड़िया का उत्पादन इस प्रकार संभव है कि $y = \frac{82-10x}{10-x}, 0 \le x \le 8$ तथा कंपनी को एक mopsy गुड़िया बेचने पर flopsy गुड़िया की तुलना में दोगुना मूल्य प्राप्त होता है। flopsy और mopsy दोनों गुड़ियों के उत्पादन का वह स्तर जिस पर कुल राजस्व (total revenue) अधिकतम हो, होगा :

Flopsy: 40 and Mopsy: 70 Flopsy: 40 तथा Mopsy: 70 Flopsy: 700 and Mopsy: 400 Flopsy: 700 तथा Mopsy: 400 Flopsy: 400 and Mopsy: 700 Flopsy: 400 तथा Mopsy: 700 Flopsy: 70 and Mopsy: 40 Flopsy: 70 तथा Mopsy: 40

Let the price of a flopsy doll be $p$. Then the price of a mopsy doll is $2p$.
The total revenue (in hundreds of $p$) is:
$R(x) = p(x + 2y) = p\left(x + 2\cdot\frac{82-10x}{10-x}\right)$.
Note that $\frac{82-10x}{10-x} = \frac{10(10-x) - 18}{10-x} = 10 - \frac{18}{10-x}$.

Thus, $R(x)/p = x + 20 - \frac{36}{10-x}$. Differentiating with respect to $x$: $\frac{d}{dx}\left(\frac{R}{p}\right) = 1 - \frac{36}{(10-x)^2}$. Setting the derivative to zero for maximum: $1 = \frac{36}{(10-x)^2} \implies (10-x)^2 = 36 \implies 10-x = 6 \implies x = 4$ (since $0 \le x \le 8$). Now calculate $y$: $y = \frac{82 - 10(4)}{10 - 4} = \frac{82 - 40}{6} = \frac{42}{6} = 7$. Since $x$ and $y$ are measured in hundreds, the quantities are: Flopsy = $4 \times 100 = 400$, Mopsy = $7 \times 100 = 700$. Detailed analysis of options:

Flopsy: 40 and Mopsy: 70 has the wrong scale factor (tens instead of hundreds).
Flopsy: 700 and Mopsy: 400 reverses the quantities of $x$ and $y$.
Flopsy: 400 and Mopsy: 700 is the correct optimal production level.
Flopsy: 70 and Mopsy: 40 is incorrect.

माना flopsy गुड़िया का मूल्य $p$ है, तो mopsy गुड़िया का मूल्य $2p$ होगा।
कुल राजस्व (total revenue):
$R(x) = p(x + 2y) = p\left(x + 2\cdot\frac{82-10x}{10-x}\right)$.
हम लिख सकते हैं: $\frac{82-10x}{10-x} = 10 - \frac{18}{10-x}$.

अतः $R(x)/p = x + 20 - \frac{36}{10-x}$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d}{dx}\left(\frac{R}{p}\right) = 1 - \frac{36}{(10-x)^2}$. अधिकतम राजस्व हेतु अवकलज को शून्य के बराबर रखने पर: $1 = \frac{36}{(10-x)^2} \implies (10-x)^2 = 36 \implies 10-x = 6 \implies x = 4$. अब $y$ का मान ज्ञात करने पर: $y = \frac{82 - 40}{6} = \frac{42}{6} = 7$. चूँकि $x$ और $y$ सैकड़ों में हैं: Flopsy = $4 \times 100 = 400$, Mopsy = $7 \times 100 = 700$. विकल्पों का विस्तृत विश्लेषण:

Flopsy: 40 तथा Mopsy: 70 में पैमाना गलत है।
Flopsy: 700 तथा Mopsy: 400 में मान परस्पर बदल दिए गए हैं।
Flopsy: 400 तथा Mopsy: 700 सही उत्तर है।
Flopsy: 70 तथा Mopsy: 40 गलत है।