Mathematics & Numerical Analysis

$3 \times 3$ आव्यूह के व्युत्क्रम की गणना:

• गलत सहखंडज आव्यूह।
• सारणिक $\det(A) = -2(2 - 6) + 4(6 - 12) = 8 - 24 = -16$ है। सहखंडज आव्यूह $\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} -2 & 10 & -12 \\ 4 & -12 & 8 \\ -6 & 6 & -4 \end{pmatrix}$ प्राप्त होता है। इसे सारणिक ($-16$) से विभाजित करने पर व्युत्क्रम $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1/8 & -5/8 & 3/4 \\ -1/4 & 3/4 & -1/2 \\ 3/8 & -3/8 & 1/4 \end{pmatrix}$ प्राप्त होता है।
• पद (2,2) पर त्रुटि है।
• अमान्य आव्यूह है।

वर्ग आव्यूह के व्युत्क्रमणीय होने की शर्तें:

• सिंगुलर आव्यूह का सारणिक सदैव शून्य होता है।
• नॉन-सिंगुलर आव्यूह का सारणिक गैर-शून्य होता है।
• व्युत्क्रमणीय आव्यूह प्रमेय के अनुसार, कोई वर्ग आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय केवल तभी होता है जब उसका सारणिक अशून्य हो ($\det(A) \ne 0$)। अतः यह कथन सदैव सत्य है।
• अव्युत्क्रमणीय आव्यूह का सारणिक शून्य होता है।

लाम्बिक आव्यूह के मूलभूत गुणधर्म:
एक वर्ग आव्यूह $A$ लाम्बिक कहलाता है यदि $A^T A = I$ हो।
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर:
$\det(A^T A) = (\det(A))^2 = 1 \implies |A| = \pm 1$.

विकल्पों का विश्लेषण:

• $|A| = \pm 1$ लाम्बिक आव्यूह का मूलभूत और सही गुणधर्म है।
• लाम्बिक आव्यूह के लिए $A^T = A^{-1}$ होता है, $-A^{-1}$ नहीं।
• लाम्बिक आव्यूह व्युत्क्रमणीय होते हैं, अतः सारणिक कभी शून्य नहीं हो सकता।
• दो लाम्बिक आव्यूहों का गुणनफल सदैव लाम्बिक होता है।