Mathematics & Numerical Analysis Practice Questions (Q71-75) - Statistical Sciences

ICAR PG Statistical Sciences 14 Jul 2023Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

The equation of the conic section whose vertices are $(0, \pm 8)$ and asymptotes are $y = \pm \frac{4}{3}x$ is given by:

उस शांकव खंड का समीकरण क्या होगा जिसके शीर्ष $(0, \pm 8)$ और अनंतस्पर्शी (असिम्पटोट्स) $y = \pm \frac{4}{3}x$ हैं?

$\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{64} = 1$ $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{64} = 1$ $\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{64} = 1$ $\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{64} = 1$ $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{36} = 1$ $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{36} = 1$ $-\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{64} = 1$ $-\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{64} = 1$

ICAR PG Statistical Sciences 14 Jul 2023Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

From point $Q$ which is outside the circle, the length of the tangent to the circle is $24\text{ cm}$ and the distance of $Q$ from the centre is $25\text{ cm}$, then the radius of the circle is given by :

वृत्त के बाहर स्थित एक बिंदु $Q$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई $24\text{ cm}$ है तथा केंद्र से $Q$ की दूरी $25\text{ cm}$ है, तो वृत्त की त्रिज्या होगी:

$7\text{ cm}$ $7\text{ cm}$ $12\text{ cm}$ $12\text{ cm}$ $15\text{ cm}$ $15\text{ cm}$ $24.5\text{ cm}$ $24.5\text{ cm}$

Properties of circle tangents and the Pythagorean theorem:
The tangent to a circle is perpendicular to the radius at the point of contact $T$.

Hence, $\triangle OTQ$ forms a right-angled triangle where $\angle OTQ = 90^\circ$. Hypotenuse $OQ = 25\text{ cm}$, and base $QT = 24\text{ cm}$. Radius $r = OT = \sqrt{OQ^2 - QT^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{625 - 576} = \sqrt{49} = 7\text{ cm}$. Option breakdown:

$7\text{ cm}$ is the exact radius derived from the $(7, 24, 25)$ Pythagorean triplet.
$12\text{ cm}$ is an arbitrary incorrect value.
$15\text{ cm}$ is incorrect.
$24.5\text{ cm}$ is incorrect.

वृत्त की स्पर्श रेखा और पाइथागोरस प्रमेय के गुणधर्म:
वृत्त की स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के साथ समकोण बनाती है।

अतः केंद्र $O$, स्पर्श बिंदु $T$ तथा बाह्य बिंदु $Q$ मिलकर समकोण त्रिभुज बनाते हैं जिसमें $\angle OTQ = 90^\circ$ है। कर्ण $OQ = 25\text{ cm}$, स्पर्श रेखा $QT = 24\text{ cm}$: त्रिज्या $r = OT = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{625 - 576} = \sqrt{49} = 7\text{ cm}$. विकल्पों का विश्लेषण:

$7\text{ cm}$ पाइथागोरस त्रिक $(7, 24, 25)$ से प्राप्त सही त्रिज्या है।
$12\text{ cm}$ अमान्य है।
$15\text{ cm}$ अमान्य है।
$24.5\text{ cm}$ अमान्य है।

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ICAR PG Statistical Sciences 29 Jun 2024Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n}$ is equal to:

$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n}$ का मान किसके बराबर है?

$e$ $e$ $e^2$ $e^2$ $e^3$ $e^3$ 0 0

ICAR PG Statistical Sciences 29 Jun 2024Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

Evaluate $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1000}}$:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1000}}$ का मान ज्ञात कीजिए:

0 0 1 1 $\infty$ $\infty$ 1/2 1/2

ICAR PG Statistical Sciences 29 Jun 2024Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

A liquid form of penicillin manufactured by a pharmaceutical firm is sold in bulk at a price of \$200 per unit. If the total production cost (in dollars) for $x$ units is $C(x) = 500,000 + 80x + 0.003x^2$ and if the production capacity of the firm is at most 30,000 units in a specified time, how many units of penicillin must be manufactured and sold in that specified time to maximize the profit?

एक फार्मास्युटिकल फर्म द्वारा निर्मित पेनिसिलिन को \$200 प्रति यूनिट की दर से थोक में बेचा जाता है। यदि $x$ इकाइयों के लिए कुल उत्पादन लागत $C(x) = 500,000 + 80x + 0.003x^2$ है और फर्म की उत्पादन क्षमता अधिकतम 30,000 इकाइयां है, तो अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए कितनी इकाइयों का निर्माण और बिक्री की जानी चाहिए?