If the function f(x, y) has mixed second order partial derivatives f{xy} and f{yx} that are continuous in an open disk containing (x₀, y₀), then : / यदि फलन f(x, y) के मिश्रित द्वितीय कोटि आंशिक अवकलज f{xy} और f{yx} बिंदु (x₀, y₀) को समाहित करने वाले विवृत चकती (open disk) में संतत हों, तो :

f{yx}(x₀, y₀) = f{xy}(x₀, y₀)

f{yx}(x₀, y₀) ≠ f{xy}(x₀, y₀)

f{yx}(x₀, y₀) = f{xy}(x₀, y₀)

f{yx}(x₀, y₀) > f{xy}(x₀, y₀)

f{yx}(x₀, y₀) < f{xy}(x₀, y₀)

If f is continuous on an open interval containing a value x₀, and if f changes the direction of its concavity at the point (x₀, f(x₀)), then f has : / यदि फलन f मान x₀ को समाहित करने वाले विवृत अंतराल पर संतत है, और यदि f बिंदु (x₀, f(x₀)) पर अपनी अवतलता (concavity) की दिशा बदलता है, तो f का x₀ पर होता है :

an inflection point at x₀ / x₀ पर एक नति परिवर्तन बिंदु

a relative maximum at x₀ / x₀ पर एक सापेक्ष उच्चिष्ठ

a relative minimum at x₀ / x₀ पर एक सापेक्ष निम्निष्ठ

an inflection point at x₀ / x₀ पर एक नति परिवर्तन बिंदु

a saddle point at x₀ / x₀ पर एक काठी बिंदु

Mathematics & Numerical Analysis Practice Questions (Q91-95) - Statistical Sciences

ICAR PG Statistical Sciences 09 Jul 2023Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

Suppose the function $f$ is continuous at the point $P(c, f(c))$. Then, the graph of $f$ has a vertical tangent at $P$ if :

मान लें कि फलन $f$ बिंदु $P(c, f(c))$ पर संतत (continuous) है। तब, $f$ के आलेख की बिंदु $P$ पर ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखा (vertical tangent) होगी यदि :

$\lim_{x \to c^-} f'(x) = +\infty$ and $\lim_{x \to c^+} f'(x) = +\infty$ $\lim_{x \to c^-} f'(x) = +\infty$ तथा $\lim_{x \to c^+} f'(x) = +\infty$ $\lim_{x \to c^-} f'(x) = +\infty$ and $\lim_{x \to c^+} f'(x) = -\infty$ $\lim_{x \to c^-} f'(x) = +\infty$ तथा $\lim_{x \to c^+} f'(x) = -\infty$ $\lim_{x \to c^-} f'(x) = -\infty$ and $\lim_{x \to c^+} f'(x) = +\infty$ $\lim_{x \to c^-} f'(x) = -\infty$ तथा $\lim_{x \to c^+} f'(x) = +\infty$ $\lim_{x \to c^-} f'(x) = 0$ and $\lim_{x \to c^+} f'(x) = +\infty$ $\lim_{x \to c^-} f'(x) = 0$ तथा $\lim_{x \to c^+} f'(x) = +\infty$

By definition, the graph of a continuous function $f$ has a vertical tangent line at $x = c$ if the two-sided limit of the difference quotient (or derivative) is infinite with the same sign:
$\lim_{x \to c} \frac{f(x) - f(c)}{x - c} = +\infty$ (or $-\infty$).
This requires both one-sided limits to agree and tend to $+\infty$ (or both to $-\infty$).
When one side is $+\infty$ and the other is $-\infty$, the graph has a cusp (point of non-differentiability without a unique tangent line), not a vertical tangent line.

Detailed analysis of options:

$\lim_{x \to c^-} f'(x) = +\infty$ and $\lim_{x \to c^+} f'(x) = +\infty$ is the definition of a vertical tangent.
Opposite infinite limits define a cusp (e.g., $y = x^{2/3}$), not a tangent line.
Opposite infinite limits define a cusp, not a tangent line.
One finite and one infinite limit does not produce a vertical tangent.

परिभाषा के अनुसार, बिंदु $P(c, f(c))$ पर संतत फलन $f$ के आलेख की ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखा (vertical tangent) तब होती है जब दोनों तरफ से अवकलज की सीमा समान चिन्ह के साथ अनंत की ओर प्रवृत्त हो:
$\lim_{x \to c^-} f'(x) = +\infty$ तथा $\lim_{x \to c^+} f'(x) = +\infty$ (या दोनों $-\infty$ हों)।
यदि दोनों सीमाओं के चिन्ह विपरीत हों (एक $+\infty$ और दूसरा $-\infty$), तो वह स्पर्श रेखा न होकर उभयाग्र (cusp) कहलाता है।

विकल्पों का विस्तृत विश्लेषण:

$\lim_{x \to c^-} f'(x) = +\infty$ तथा $\lim_{x \to c^+} f'(x) = +\infty$ ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखा की सही परिभाषा है।
विपरीत चिन्ह होने पर यह उभयाग्र (cusp) बनता है, स्पर्श रेखा नहीं।
विपरीत चिन्ह होने पर उभयाग्र बनता है।
गलत है।

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ICAR PG Statistical Sciences 09 Jul 2023Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

The value of $\lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{\frac{3x+5}{6x-8}}$ is given by :

$\lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{\frac{3x+5}{6x-8}}$ का मान होगा :

$\sqrt[3]{\frac{1}{3}}$ $\sqrt[3]{\frac{1}{3}}$ $\sqrt[3]{\frac{1}{5}}$ $\sqrt[3]{\frac{1}{5}}$ $\sqrt[3]{\frac{1}{7}}$ $\sqrt[3]{\frac{1}{7}}$ $\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ $\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$

ICAR PG Statistical Sciences 09 Jul 2023Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

If the function $f(x, y)$ has mixed second order partial derivatives $f_{xy}$ and $f_{yx}$ that are continuous in an open disk containing $(x_0, y_0)$, then :

यदि फलन $f(x, y)$ के मिश्रित द्वितीय कोटि आंशिक अवकलज $f_{xy}$ और $f_{yx}$ बिंदु $(x_0, y_0)$ को समाहित करने वाले विवृत चकती (open disk) में संतत हों, तो :

$f_{yx}(x_0, y_0) \ne f_{xy}(x_0, y_0)$ $f_{yx}(x_0, y_0) \ne f_{xy}(x_0, y_0)$ $f_{yx}(x_0, y_0) = f_{xy}(x_0, y_0)$ $f_{yx}(x_0, y_0) = f_{xy}(x_0, y_0)$ $f_{yx}(x_0, y_0) > f_{xy}(x_0, y_0)$ $f_{yx}(x_0, y_0) > f_{xy}(x_0, y_0)$ $f_{yx}(x_0, y_0) < f_{xy}(x_0, y_0)$ $f_{yx}(x_0, y_0) < f_{xy}(x_0, y_0)$

ICAR PG Statistical Sciences 09 Jul 2023Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

Suppose $f$ is continuous on $[a, b]$ and differentiable on $(a, b)$. If $f(a) = f(b)$, then there exists at least one number $c$ between $a$ and $b$ such that $f'(c) = 0$ is the statement of :

मान लें कि फलन $f$ अंतराल $[a, b]$ पर संतत (continuous) है और $(a, b)$ पर अवकलनीय (differentiable) है। यदि $f(a) = f(b)$ हो, तो $a$ और $b$ के बीच कम से कम एक संख्या $c$ ऐसी अवश्य होती है जिसके लिए $f'(c) = 0$ हो। यह किसका कथन है?

Lagrange's mean value theorem लैग्रेंज का मध्यमान प्रमेय Rolle's Theorem रोले का प्रमेय Fundamental theorem of calculus कलन का मूलभूत प्रमेय Fundamental theorem of algebra बीजगणित का मूलभूत प्रमेय

This is the exact, classical statement of Rolle's Theorem:
If a real-valued function $f$ is continuous on $[a, b]$, differentiable on $(a, b)$, and $f(a) = f(b)$, then there exists at least one $c \in (a, b)$ such that $f'(c) = 0$.

Detailed analysis of options:

Lagrange's Mean Value Theorem states that $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ (without requiring $f(a) = f(b)$).
Rolle's Theorem is the specific case where $f(a) = f(b)$, implying $f'(c) = 0$.
Fundamental Theorem of Calculus relates differentiation and integration.
Fundamental Theorem of Algebra states that every non-zero single-variable polynomial with complex coefficients has at least one complex root.

यह रोले के प्रमेय (Rolle's Theorem) का सटीक कथन है:
यदि कोई वास्तविक फलन $f$, संवृत अंतराल $[a, b]$ पर संतत हो, विवृत अंतराल $(a, b)$ पर अवकलनीय हो तथा $f(a) = f(b)$ हो, तो विवृत अंतराल $(a, b)$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा अवश्य होता है जहाँ $f'(c) = 0$ हो।

विकल्पों का विस्तृत विश्लेषण:

लैग्रेंज मध्यमान प्रमेय के अनुसार $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ होता है।
रोले का प्रमेय (Rolle's Theorem) सही उत्तर है।
कलन का मूलभूत प्रमेय अवकलन और समाकलन को परस्पर जोड़ता है।
बीजगणित का मूलभूत प्रमेय बहुपदों के मूलों से संबंधित है।

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ICAR PG Statistical Sciences 09 Jul 2023Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

If $f$ is continuous on an open interval containing a value $x_0$, and if $f$ changes the direction of its concavity at the point $(x_0, f(x_0))$, then $f$ has :

यदि फलन $f$ मान $x_0$ को समाहित करने वाले विवृत अंतराल पर संतत है, और यदि $f$ बिंदु $(x_0, f(x_0))$ पर अपनी अवतलता (concavity) की दिशा बदलता है, तो $f$ का $x_0$ पर होता है :

a relative maximum at $x_0$ $x_0$ पर एक सापेक्ष उच्चिष्ठ a relative minimum at $x_0$ $x_0$ पर एक सापेक्ष निम्निष्ठ an inflection point at $x_0$ $x_0$ पर एक नति परिवर्तन बिंदु a saddle point at $x_0$ $x_0$ पर एक काठी बिंदु