If $f$ is continuous on $[a, b]$, then there is at least one number $c$ between $a$ and $b$ such that :
यदि फलन $f$ अंतराल $[a, b]$ पर सतत है, तो $a$ और $b$ के मध्य कम से कम एक ऐसी संख्या $c$ का अस्तित्व होगा कि:
EXPLANATION
Applications of Derivatives: Tangents, Normals, Maxima-Minima, Mean Value Theorems and Indeterminate Forms
Mean Value Theorem for Definite Integrals:
If $f$ is continuous on $[a, b]$, then there exists a number $c$ in $[a, b]$ such that:
$\int_a^b f(x)dx = f(c)(b - a)$.
This means that the area under the curve between $a$ and $b$ is equal to the area of a rectangle of base $(b - a)$ and height $f(c)$ (the average value of the function).
Option breakdown:
- $\int_a^b f(x)dx = f(c)(b - a)$ is the precise mathematical formula for the Mean Value Theorem for Integrals.
- Evaluates at fixed point $a$ with incorrect interval difference $(c - b)$.
- Evaluates at fixed point $b$ with interval difference $(c - a)$.
- Uses derivative $f'(c)$ instead of function value $f(c)$.
निश्चित समाकलनों के लिए मध्यमान प्रमेय:
यदि फलन $f$ संवृत अंतराल $[a, b]$ पर सतत है, तो अंतराल में कम से कम एक ऐसा बिंदु $c$ विद्यमान होता है कि:
$\int_a^b f(x)dx = f(c)(b - a)$.
इसका ज्यामितीय अर्थ है कि वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल आधार $(b - a)$ तथा ऊँचाई $f(c)$ वाले आयत के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
विकल्पों का विश्लेषण:
- $\int_a^b f(x)dx = f(c)(b - a)$ समाकलन मध्यमान प्रमेय का सही सूत्र है।
- अमान्य है।
- अमान्य है।
- $f(c)$ के स्थान पर अवकलज $f'(c)$ का उपयोग होने से गलत है।
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