The value of $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2\frac{x}{2} \cos^2\frac{x}{2} \, dx$ is given by :
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2\frac{x}{2} \cos^2\frac{x}{2} \, dx$ का मान है:
EXPLANATION
Integral Calculus: Definite and Indefinite Integrals, Reduction Formulas and Areas Under Curves
Evaluation of definite integral using double-angle identity:
Note that $\sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2} = \frac{1}{2}\sin x$.
Thus, $\sin^2\frac{x}{2} \cos^2\frac{x}{2} = \frac{1}{4}\sin^2 x$.
The integral becomes:
$I = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{4}\sin^2 x \, dx = \frac{1}{4} \int_0^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx$
$= \frac{1}{8} \left[ x - \frac{\sin 2x}{2} \right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{8} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{16}$.
Option breakdown:
- $\frac{\pi}{2}$ misses the $1/8$ factor.
- $\frac{\pi}{4}$ misses the $1/4$ factor.
- $\frac{\pi}{16}$ is the exact evaluated value.
- $\pi$ is incorrect.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका द्वारा निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करना:
हम जानते हैं कि $\sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2} = \frac{1}{2}\sin x$ होता है।
अतः $\sin^2\frac{x}{2} \cos^2\frac{x}{2} = \frac{1}{4}\sin^2 x$.
समाकलन का रूप:
$I = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{4}\sin^2 x \, dx = \frac{1}{4} \int_0^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx$
$= \frac{1}{8} \left[ x - \frac{\sin 2x}{2} \right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{8} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{16}$.
विकल्पों का विश्लेषण:
- $\frac{\pi}{2}$ गलत है।
- $\frac{\pi}{4}$ गलत है।
- $\frac{\pi}{16}$ सही उत्तर है।
- $\pi$ गलत है।
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क्या व्याख्या इस प्रश्न से मेल नहीं खा रही?
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