If (n) = ₀^∞ e^{-x}x^{n-1}\,dx, (n > 0), then the value of ₀^{π/2}^n x\,dx is given by : / यदि (n) = ₀^∞ e^{-x}x^{n-1}\,dx, (n > 0) है, तो ₀^{π/2}^n x\,dx का मान होगा :

{((n+1/2))}{((n+2/2))}{{π}}{2}

{((n+2/2))}{((n+1/2))}{{π}}{2}

The value of x⁻¹x \, dx is given by : / x⁻¹x \, dx का मान है:

(x²/2)⁻¹x - (1/2)x + (1/2)⁻¹x + C

(x²/2)⁻¹x - (1/2)x - (1/2)⁻¹x + C

(x²/2)⁻¹x - (1/2)x + (1/2)⁻¹x + C

(x²/2)⁻¹x - (1/4)x - (1/2)⁻¹x + C

Statistical Sciences / Mathematics / Full Subject

144 Qs Overview

Mathematics

Official Statistical Sciences Mathematics complete subject practice test — All questions across all syllabus chapters.

Q.111

ICAR 2023Shift 1 MCQ (Single Correct) +4 −1

If $\Gamma(n) = \int_0^\infty e^{-x}x^{n-1}\,dx, (n > 0)$, then the value of $\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx$ is given by :

यदि $\Gamma(n) = \int_0^\infty e^{-x}x^{n-1}\,dx, (n > 0)$ है, तो $\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx$ का मान होगा :

$\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)}\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ $\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)}\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ $\frac{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ $\frac{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ $\frac{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ $\frac{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ $\frac{\Gamma(n)}{\Gamma(n+1)}\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ $\frac{\Gamma(n)}{\Gamma(n+1)}\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

By Euler's integral of the first kind in terms of Gamma functions:
$\int_0^{\pi/2} \sin^p x \cos^q x\,dx = \frac{\Gamma\left(\frac{p+1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{q+1}{2}\right)}{2\Gamma\left(\frac{p+q+2}{2}\right)}$.
Setting $p = n$ and $q = 0$:
$\int_0^{\pi/2} \sin^n x\,dx = \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{2\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)}$.
Since $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$, this simplifies to:
$\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)} \frac{\sqrt{\pi}}{2}$.

Detailed analysis of options:

$\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)}\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ is the exact formula.
Has $n/2$ and $(n+1)/2$ instead of $(n+1)/2$ and $(n+2)/2$.
Inverts the ratio of Gamma arguments.
Uses integer arguments $n$ and $n+1$.

गामा और बीटा फलनों के संबंध से मानक समाकल सूत्र:
$\int_0^{\pi/2} \sin^p x \cos^q x\,dx = \frac{\Gamma\left(\frac{p+1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{q+1}{2}\right)}{2\Gamma\left(\frac{p+q+2}{2}\right)}$.
यहाँ $p = n$ तथा $q = 0$ रखने पर:
$\int_0^{\pi/2} \sin^n x\,dx = \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{2\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)}$.
चूँकि $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$ होता है, अतः व्यंजक:
$\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)}\frac{\sqrt{\pi}}{2}$.

विकल्पों का विस्तृत विश्लेषण:

$\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)}\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ सही उत्तर है।
गलत कोणांक (arguments) हैं।
अनुपात व्युत्क्रम है।
गलत है।

Explanation not matching this question? क्या व्याख्या इस प्रश्न से मेल नहीं खा रही? Report

Q.112

ICAR 2023Shift 1 MCQ (Single Correct) +4 −1

The value of $\int x\tan^{-1}x \, dx$ is given by :

$\int x\tan^{-1}x \, dx$ का मान है:

$\frac{x^2}{2}\cot^{-1}x - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\cot^{-1}x + C$ $\frac{x^2}{2}\cot^{-1}x - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\cot^{-1}x + C$ $\frac{x^2}{2}\sec^{-1}x - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\sec^{-1}x + C$ $\frac{x^2}{2}\sec^{-1}x - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\sec^{-1}x + C$ $\frac{x^2}{2}\tan^{-1}x - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\tan^{-1}x + C$ $\frac{x^2}{2}\tan^{-1}x - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\tan^{-1}x + C$ $\frac{x^2}{2}\tan^{-1}x - \frac{1}{4}x - \frac{1}{2}\tan^{-1}x + C$ $\frac{x^2}{2}\tan^{-1}x - \frac{1}{4}x - \frac{1}{2}\tan^{-1}x + C$

Q.113

ICAR 2023Shift 1 MCQ (Single Correct) +4 −1

The value of $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2\frac{x}{2} \cos^2\frac{x}{2} \, dx$ is given by :

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2\frac{x}{2} \cos^2\frac{x}{2} \, dx$ का मान है:

$\frac{\pi}{2}$ $\frac{\pi}{2}$ $\frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi}{16}$ $\frac{\pi}{16}$ $\pi$ $\pi$

Q.114

ICAR 2023Shift 1 MCQ (Single Correct) +4 −1

The value of $\int_0^\pi \int_0^{\cos y} x \sin y \, dx \, dy$ is given by :

$\int_0^\pi \int_0^{\cos y} x \sin y \, dx \, dy$ का मान है:

$\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{5}$ $\frac{1}{5}$ $-\frac{1}{3}$ $-\frac{1}{3}$

Evaluation of iterated double integral:
First evaluate the inner integral with respect to $x$:
$\int_0^{\cos y} x \sin y \, dx = \sin y \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{\cos y} = \frac{1}{2} \sin y \cos^2 y$.
Now evaluate the outer integral with respect to $y$:
$\int_0^\pi \frac{1}{2} \cos^2 y \sin y \, dy$.
Let $u = \cos y \implies du = -\sin y \, dy$.
When $y = 0, u = 1$; when $y = \pi, u = -1$.
$\int_1^{-1} \frac{1}{2} u^2 (-du) = \int_{-1}^1 \frac{1}{2} u^2 du = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{-1}^1 = \frac{1}{6} (1 - (-1)) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Option breakdown:

$\frac{1}{2}$ is an incorrect evaluation.
$\frac{1}{3}$ is the exact value of the double integral.
$\frac{1}{5}$ is incorrect.
$-\frac{1}{3}$ has an incorrect negative sign.

द्विक समाकल (Double integral) का मूल्यांकन:
पहले $x$ के सापेक्ष आंतरिक समाकलन का मान निकालते हैं:
$\int_0^{\cos y} x \sin y \, dx = \sin y \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{\cos y} = \frac{1}{2} \sin y \cos^2 y$.
अब $y$ के सापेक्ष बाह्य समाकलन का मान निकालते हैं:
$\int_0^\pi \frac{1}{2} \cos^2 y \sin y \, dy$.
माना $u = \cos y \implies du = -\sin y \, dy$.
जब $y = 0, u = 1$; जब $y = \pi, u = -1$.
$\int_{-1}^1 \frac{1}{2} u^2 du = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{-1}^1 = \frac{1}{6} (1 - (-1)) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

विकल्पों का विश्लेषण:

$\frac{1}{2}$ गलत है।
$\frac{1}{3}$ सही मान है।
$\frac{1}{5}$ गलत है।
$-\frac{1}{3}$ गलत है।

Explanation not matching this question? क्या व्याख्या इस प्रश्न से मेल नहीं खा रही? Report

Q.115

ICAR 2023Shift 1 MCQ (Single Correct) +4 −1

If $f$ and $g$ are integrable on $[a, b]$ and $f(x) \ge g(x)$ for all $x$ in $[a, b]$, then :

यदि $f$ तथा $g$ अंतराल $[a, b]$ पर समाकलनीय हैं तथा $[a, b]$ में सभी $x$ के लिए $f(x) \ge g(x)$ है, तो:

$\int_a^b f(x)dx \ne \int_a^b g(x)dx$ $\int_a^b f(x)dx \ne \int_a^b g(x)dx$ $\int_a^b f(x)dx \ge \int_a^b g(x)dx$ $\int_a^b f(x)dx \ge \int_a^b g(x)dx$ $\int_a^b f(x)dx \le \int_a^b g(x)dx$ $\int_a^b f(x)dx \le \int_a^b g(x)dx$ $\int_a^b f(x)dx$ and $\int_a^b g(x)dx$ does not exist $\int_a^b f(x)dx$ तथा $\int_a^b g(x)dx$ का अस्तित्व नहीं है

Comparison Property of Definite Integrals (Monotonicity):
If $f$ and $g$ are integrable on $[a, b]$ with $a \le b$, and if $f(x) \ge g(x)$ for all $x \in [a, b]$, then:
$f(x) - g(x) \ge 0 \implies \int_a^b [f(x) - g(x)] dx \ge 0 \implies \int_a^b f(x) dx \ge \int_a^b g(x) dx$.
This is the fundamental monotonicity property of Riemann integration.

Option breakdown:

They can be equal if $f(x) = g(x)$ almost everywhere.
$\int_a^b f(x)dx \ge \int_a^b g(x)dx$ is the correct integral comparison inequality.
The inequality is reversed.
Integrals exist since the problem states $f$ and $g$ are integrable.

निश्चित समाकलनों का तुलना गुणधर्म (एकदिष्टता):
यदि $f$ तथा $g$ अंतराल $[a, b]$ ($a \le b$) पर समाकलनीय फलन हैं तथा पूरे अंतराल में $f(x) \ge g(x)$ है, तो:
$f(x) - g(x) \ge 0 \implies \int_a^b f(x)dx \ge \int_a^b g(x)dx$.
यह रीमान समाकलन का मानक एकदिष्टता गुणधर्म है।

विकल्पों का विश्लेषण: