Given (n) = ₀^∞ e^{-x} x^{n-1} dx, (n > 0), then the value of ₀^{π/2} ^n x \, dx is given by : / दिया गया है (n) = ₀^∞ e^{-x} x^{n-1} dx, (n > 0), तो ₀^{π/2} ^n x \, dx का मान है:

{((n+1/2))}{((n+2/2))} {{π}}{2}

{((n+2/2))}{((n+1/2))} {{π}}{2}

Find the solution of the differential equation (d² y/dx²) + 2(dy/dx) + 4y = 2x² + 3e^{-x}: / अवकल समीकरण (d² y/dx²) + 2(dy/dx) + 4y = 2x² + 3e^{-x} का हल ज्ञात कीजिए:

y = e^{-x}[C₁ {3}x + C₂ {3}x] + (1/2)x² - (1/2)x + e^{-x}

y = 4[C₁ {3}x + C₂ {3}x] + (1/2)x² + (1/2)x - e^{-x}

y = e^x[C₁ {3}x + C₂ {3}x] - (1/2)x² + (1/2)x - e^{-x}

Statistical Sciences / Mathematics / Full Subject

144 Qs Overview

Mathematics

Official Statistical Sciences Mathematics complete subject practice test — All questions across all syllabus chapters.

Q.116

ICAR 2023Shift 1 MCQ (Single Correct) +4 −1

Suppose that a particle moves on a coordinate line so that its velocity at time $t$ is $v(t) = t^2 - 2t\text{ m/s}$, then the displacement of the particle during the time interval $0 \le t \le 3$ is given by :

मान लीजिए कि एक कण निर्देशांक रेखा पर इस प्रकार गति करता है कि समय $t$ पर उसका वेग $v(t) = t^2 - 2t\text{ m/s}$ है, तो समयांतराल $0 \le t \le 3$ के दौरान कण का विस्थापन है:

$0\text{ m}$ $0\text{ m}$ $1\text{ m}$ $1\text{ m}$ $\frac{1}{2}\text{ m}$ $\frac{1}{2}\text{ m}$ $3\text{ m}$ $3\text{ m}$

Calculation of displacement via definite integration:
Displacement $\Delta s$ over the time interval $[0, 3]$ is the definite integral of velocity $v(t)$:
$\Delta s = \int_0^3 v(t) dt = \int_0^3 (t^2 - 2t) dt$.
Integrating term by term:
$\Delta s = \left[ \frac{t^3}{3} - t^2 \right]_0^3 = \left( \frac{3^3}{3} - 3^2 \right) - 0 = (9 - 9) - 0 = 0\text{ m}$.
(Note: Total distance traveled would consider $|v(t)|$, but displacement is the net integral, which is exactly 0 m).

Option breakdown:

$0\text{ m}$ is the exact net displacement.
$1\text{ m}$ is incorrect.
$\frac{1}{2}\text{ m}$ is incorrect.
$3\text{ m}$ is incorrect.

निश्चित समाकलन द्वारा विस्थापन की गणना:
समयांतराल $[0, 3]$ में विस्थापन वेग फलन $v(t)$ का निश्चित समाकलन होता है:
$\Delta s = \int_0^3 v(t) dt = \int_0^3 (t^2 - 2t) dt$.
समाकलन करने पर:
$\Delta s = \left[ \frac{t^3}{3} - t^2 \right]_0^3 = \left( \frac{27}{3} - 9 \right) - 0 = (9 - 9) = 0\text{ m}$.
(ध्यान दें: कुल तय की गई दूरी धनात्मक होती है, परंतु कुल विस्थापन शुद्ध समाकलन होता है जो $0\text{ m}$ है)।

विकल्पों का विश्लेषण:

$0\text{ m}$ सही शुद्ध विस्थापन है।
$1\text{ m}$ अमान्य है।
$\frac{1}{2}\text{ m}$ अमान्य है।
$3\text{ m}$ अमान्य है।

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Q.117

ICAR 2023Shift 1 MCQ (Single Correct) +4 −1

Given $\Gamma(n) = \int_0^\infty e^{-x} x^{n-1} dx$, $(n > 0)$, then the value of $\int_0^{\pi/2} \cos^n x \, dx$ is given by :

दिया गया है $\Gamma(n) = \int_0^\infty e^{-x} x^{n-1} dx$, $(n > 0)$, तो $\int_0^{\pi/2} \cos^n x \, dx$ का मान है:

$\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)} \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ $\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)} \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ $\frac{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)} \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ $\frac{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)} \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ $\frac{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)} \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ $\frac{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)} \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ $\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ $\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \frac{\sqrt{\pi}}{2}$

Euler's Beta and Gamma function relation for trigonometric integrals:
The standard formula for definite integrals involving sines and cosines is:
$\int_0^{\pi/2} \sin^p x \cos^q x \, dx = \frac{\Gamma\left(\frac{p+1}{2}\right) \Gamma\left(\frac{q+1}{2}\right)}{2 \Gamma\left(\frac{p+q+2}{2}\right)}$.
Setting $p = 0$ and $q = n$:
$\int_0^{\pi/2} \cos^n x \, dx = \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) \Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{2 \Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)}$.
Since $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$:
$\int_0^{\pi/2} \cos^n x \, dx = \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)} \frac{\sqrt{\pi}}{2}$.

Option breakdown:

$\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamma(\frac{n+2}{2})} \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ is the standard reduction formula in terms of the Gamma function.
Inverts the ratio of gamma arguments.
Has argument $n/2$ instead of $(n+1)/2$ in the numerator.
Has argument $n/2$ in the denominator instead of $(n+2)/2$.

त्रिकोणमितीय समाकलनों के लिए बीटा और गामा फलन संबंध:
मानक समाकलन सूत्र:
$\int_0^{\pi/2} \sin^p x \cos^q x \, dx = \frac{\Gamma\left(\frac{p+1}{2}\right) \Gamma\left(\frac{q+1}{2}\right)}{2 \Gamma\left(\frac{p+q+2}{2}\right)}$.
यहाँ $p = 0$ तथा $q = n$ रखने पर:
$\int_0^{\pi/2} \cos^n x \, dx = \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) \Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{2 \Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)}$.
चूँकि $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$ होता है:
$\int_0^{\pi/2} \cos^n x \, dx = \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)} \frac{\sqrt{\pi}}{2}$.

विकल्पों का विश्लेषण:

$\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamma(\frac{n+2}{2})} \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ गामा फलन का सही मानक सूत्र है।
गामा पदों का अनुपात उल्टा है।
अंश में $(n+1)/2$ के स्थान पर $n/2$ है।
हर में $(n+2)/2$ के स्थान पर $n/2$ है।

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Q.118

ICAR 2024Shift 1 MCQ (Single Correct) +4 −1

Solve the differential equation $3e^x \tan y\, dx + (1 - e^x)\sec^2 y\, dy = 0$:

अवकल समीकरण $3e^x \tan y\, dx + (1 - e^x)\sec^2 y\, dy = 0$ का हल ज्ञात कीजिए:

$\frac{\cos y}{(1 - e^x)^3} = c$ $\frac{\cos y}{(1 - e^x)^3} = c$ $\frac{\tan y}{(1 - e^x)^3} = c$ $\frac{\tan y}{(1 - e^x)^3} = c$ $\frac{\sin y}{(1 - e^x)^3} = c$ $\frac{\sin y}{(1 - e^x)^3} = c$ $\frac{\sin y}{(1 - e^x)^5} = c$ $\frac{\sin y}{(1 - e^x)^5} = c$

Q.119

ICAR 2024Shift 1 MCQ (Single Correct) +4 −1

Find the solution of the differential equation $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y} = y^2$:

अवकल समीकरण $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y} = y^2$ का हल ज्ञात कीजिए:

$x = \frac{1}{4}x^3 + \frac{c}{y}$ $x = \frac{1}{4}x^3 + \frac{c}{y}$ $y = \frac{1}{4}x^3 + \frac{c}{x}$ $y = \frac{1}{4}x^3 + \frac{c}{x}$ $x = \frac{1}{4}y^3 + \frac{c}{x}$ $x = \frac{1}{4}y^3 + \frac{c}{x}$ $x = \frac{1}{4}y^3 + \frac{c}{y}$ $x = \frac{1}{4}y^3 + \frac{c}{y}$

Q.120

ICAR 2024Shift 1 MCQ (Single Correct) +4 −1

Find the solution of the differential equation $\frac{d^2 y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} + 4y = 2x^2 + 3e^{-x}$:

अवकल समीकरण $\frac{d^2 y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} + 4y = 2x^2 + 3e^{-x}$ का हल ज्ञात कीजिए:

$y = e^{-x}[C_1 \cos \sqrt{3}x + C_2 \sin \sqrt{3}x] + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x + e^{-x}$ $y = e^{-x}[C_1 \cos \sqrt{3}x + C_2 \sin \sqrt{3}x] + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x + e^{-x}$ $y = 4[C_1 \cos \sqrt{3}x + C_2 \sin \sqrt{3}x] + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x - e^{-x}$ $y = 4[C_1 \cos \sqrt{3}x + C_2 \sin \sqrt{3}x] + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x - e^{-x}$ $y = e^x[C_1 \cos \sqrt{3}x + C_2 \sin \sqrt{3}x] - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x - e^{-x}$ $y = e^x[C_1 \cos \sqrt{3}x + C_2 \sin \sqrt{3}x] - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x - e^{-x}$ $y = e^x[C_1 \cos \sqrt{3}x + C_2 \sin \sqrt{3}x]$ $y = e^x[C_1 \cos \sqrt{3}x + C_2 \sin \sqrt{3}x]$