Mathematics

Official Statistical Sciences Mathematics complete subject practice test — All questions across all syllabus chapters.

Q.16

ICAR 2023Shift 1 MCQ (Single Correct) +4 −1

If $\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ and $\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2}$, then $\cos\theta - \sin\theta$ is equal to :

यदि $\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ तथा $\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2}$ है, तो $\cos\theta - \sin\theta$ किसके बराबर है?

$e^{i\theta}$ $e^{i\theta}$ $e^{-i\theta}$ $e^{-i\theta}$ $-e^{i\theta}$ $-e^{i\theta}$ $-e^{-i\theta}$ $-e^{-i\theta}$

Q.17

ICAR 2023Shift 1 MCQ (Single Correct) +4 −1

The sum and product of the roots of the polynomial $x^2 - 2x - 8$ are respectively :

बहुपद $x^2 - 2x - 8$ के मूलों का योगफल और गुणनफल क्रमशः हैं:

$2, 8$ $2, 8$ $-2, 8$ $-2, 8$ $-2, -8$ $-2, -8$ $2, -8$ $2, -8$

Q.18

ICAR 2023Shift 1 MCQ (Single Correct) +4 −1

Roots of the equation $x^3 - 23x^2 + 142x - 120 = 0$ are :

समीकरण $x^3 - 23x^2 + 142x - 120 = 0$ के मूल हैं:

$1, 10, 12$ $1, 10, 12$ $-1, 10, 12$ $-1, 10, 12$ $1, -10, 12$ $1, -10, 12$ $-1, -10, -12$ $-1, -10, -12$

Solving cubic equation $x^3 - 23x^2 + 142x - 120 = 0$: Using Vieta's formulas for roots $\alpha, \beta, \gamma$:

Sum of roots: $\alpha + \beta + \gamma = 23$.
Sum of pairwise products: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 142$.
Product of roots: $\alpha\beta\gamma = 120$.
Testing option (A): $\{1, 10, 12\}$:
Sum: $1 + 10 + 12 = 23$.
Pairwise products: $1(10) + 10(12) + 1(12) = 10 + 120 + 12 = 142$.
Product: $1 \times 10 \times 12 = 120$.
All conditions are satisfied exactly.

Option breakdown:
$1, 10, 12$ satisfy all relations and yield polynomial factors $(x-1)(x-10)(x-12) = 0$.
$-1, 10, 12$ gives sum 21, not 23.
$1, -10, 12$ gives sum 3, not 23.
$-1, -10, -12$ gives negative product $-120$, not $+120$.

त्रिघात समीकरण $x^3 - 23x^2 + 142x - 120 = 0$ के मूल ज्ञात करना:
विएटा के सूत्रों के अनुसार मूलों $\alpha, \beta, \gamma$ के संबंध:

मूलों का योग: $\alpha + \beta + \gamma = 23$.
दो-दो मूलों के गुणनफलों का योग: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 142$.
मूलों का गुणनफल: $\alpha\beta\gamma = 120$.
विकल्प (A) $\{1, 10, 12\}$ की जाँच करने पर:
योग $= 1 + 10 + 12 = 23$.
दोहरे गुणनफलों का योग $= 10 + 120 + 12 = 142$.
गुणनफल $= 1 \times 10 \times 12 = 120$.
तीनों संबंध पूरी तरह संतुष्ट होते हैं।

विकल्पों का विश्लेषण:
$1, 10, 12$ समीकरण के वास्तविक मूल हैं।
मूलों का योग $21$ आता है, जो गलत है।
मूलों का योग $3$ आता है, जो गलत है।
मूलों का गुणनफल ऋणात्मक $-120$ प्राप्त होता है, जो अमान्य है।

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Q.19

ICAR 2024Shift 1 MCQ (Single Correct) +4 −1

Let $(a_n) = \left(\frac{n+1}{n}\right)$ and $(b_n) = (-1)^n$ be sequences of real number, then:

मान लीजिए $(a_n) = \left(\frac{n+1}{n}\right)$ और $(b_n) = (-1)^n$ वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम हैं, तो:

Both $(a_n)$ and $(b_n)$ are convergent $(a_n)$ और $(b_n)$ दोनों अभिसारी हैं Both $(a_n)$ and $(b_n)$ are divergent $(a_n)$ और $(b_n)$ दोनों अपसारी हैं $(a_n)$ is convergent but $(b_n)$ is not convergent $(a_n)$ अभिसारी है लेकिन $(b_n)$ अभिसारी नहीं है $(a_n)$ is not convergent but $(b_n)$ is convergent $(a_n)$ अभिसारी नहीं है लेकिन $(b_n)$ अभिसारी है

Q.20

ICAR 2024Shift 1 MCQ (Single Correct) +4 −1

Let $r$ be any real number and $(a_n) = \frac{1}{n^r}$ be sequence of real number, then:

मान लीजिए $r$ कोई वास्तविक संख्या है और $(a_n) = \frac{1}{n^r}$ वास्तविक संख्याओं का एक अनुक्रम है, तो:

$(a_n)$ is always convergent for any $r \in \mathbb{R}$ $(a_n)$ किसी भी $r \in \mathbb{R}$ के लिए सदैव अभिसारी है $(a_n)$ is convergent only for $r = 1$ $(a_n)$ केवल $r = 1$ के लिए अभिसारी है $(a_n)$ is convergent for any $r \ge 0$ $(a_n)$ किसी भी $r \ge 0$ के लिए अभिसारी है $(a_n)$ is divergent for any $r \in \mathbb{R}$ $(a_n)$ किसी भी $r \in \mathbb{R}$ के लिए अपसारी है