Let (an) = 1/n^2 be sequence of real numbers, then the sequence is :
मान लीजिए (an) = 1/n^2 वास्तविक संख्याओं का एक अनुक्रम है, तो यह अनुक्रम कैसा है?
EXPLANATION
Sequences and Series: Arithmetic, Geometric, Harmonic Progressions and Infinite Series Convergence
Evaluation of sequence limit:
- Incorrect: The limit is 0, not 1.
- Correct: Taking the limit as $n \to \infty$:
$$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$$
Because a finite unique limit exists ($L = 0$), the sequence $(a_n)$ is convergent and its limit is 0. - Incorrect: The sequence is bounded and monotonically decreasing to 0, hence convergent.
- Incorrect: A convergent sequence in $\mathbb{R}$ possesses a unique limit, never multiple limits.
अनुक्रम की सीमा की गणना:
- गलत: सीमा 0 है, 1 नहीं।
- सही: $n \to \infty$ पर सीमा लेने पर:
$$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$$
चूँकि इसकी अद्वितीय परिमित सीमा 0 प्राप्त होती है, अतः यह अनुक्रम अभिसारी (Convergent) है तथा इसकी सीमा 0 है। - गलत: यह एक परिबद्ध और अभिसारी अनुक्रम है।
- गलत: किसी अभिसारी अनुक्रम की सीमा सदैव अद्वितीय होती है।
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