Let x and y be two real numbers, then which of the following is always true ?
मान लीजिए x और y दो वास्तविक संख्याएँ हैं, तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सदैव सत्य है?
Analysis of triangle inequality variants:
For any real numbers $x, y \in \mathbb{R}$:
- Incorrect: By reverse triangle inequality, $|x - y| \ge ||x| - |y||$.
- Correct: Applying the triangle inequality to $x$ and $(-y)$:
$$|x - y| = |x + (-y)| \le |x| + |-y| = |x| + |y|$$
This holds universally for all real numbers $x$ and $y$. - Incorrect: Counterexample: $x = 1, y = 2 \implies |3| \le 1 - 2 = -1$ (false).
- Incorrect: The true relation is $|x + y| \le |x| + |y|$.
त्रिभुज असमिका (Triangle Inequality) का विश्लेषण:
किन्हीं भी वास्तविक संख्याओं $x, y \in \mathbb{R}$ के लिए:
- गलत: विपरीत असमिका $|x - y| \ge |x| - |y|$ होती है।
- सही: त्रिभुज असमिका के अनुसार किसी भी योग या अंतर का मापांक उनके व्यक्तिगत मापांकों के योग से छोटा या बराबर होता है:
$$|x - y| = |x + (-y)| \le |x| + |-y| = |x| + |y|$$
यह संबंध सभी वास्तविक संख्याओं हेतु सार्वभौमिक रूप से सत्य है। - गलत: $x = 1, y = 2$ रखने पर असत्य सिद्ध होता है।
- गलत: सत्य संबंध $|x + y| \le |x| + |y|$ होता है।
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