Mathematics

Official Statistical Sciences Mathematics complete subject practice test — All questions across all syllabus chapters.

Q.91

ICAR 2023Shift 1 MCQ (Single Correct) +4 −1

The value of $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^2}$ is given by :

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^2}$ का मान है:

$1$ $1$ $-\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $+\infty$ $0$ $0$

Q.92

ICAR 2024Shift 1 MCQ (Single Correct) +4 −1

A liquid form of penicillin manufactured by a pharmaceutical firm is sold in bulk at a price of \$200 per unit. If the total production cost (in dollars) for $x$ units is $C(x) = 500,000 + 80x + 0.003x^2$ and if the production capacity of the firm is at most 30,000 units in a specified time, how many units of penicillin must be manufactured and sold in that specified time to maximize the profit?

एक फार्मास्युटिकल फर्म द्वारा निर्मित पेनिसिलिन को \$200 प्रति यूनिट की दर से थोक में बेचा जाता है। यदि $x$ इकाइयों के लिए कुल उत्पादन लागत $C(x) = 500,000 + 80x + 0.003x^2$ है और फर्म की उत्पादन क्षमता अधिकतम 30,000 इकाइयां है, तो अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए कितनी इकाइयों का निर्माण और बिक्री की जानी चाहिए?

10,000 10,000 20,000 20,000 30,000 30,000 25,000 25,000

Q.93

ICAR 2024Shift 1 MCQ (Single Correct) +4 −1

The value of the constant $a, b$ and $c$ which guarantee that the graph of $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ will have a relative maximum at $(-3, 18)$ and a relative minimum at $(1, -14)$ is given by:

अचर $a, b$ और $c$ के मान जो यह सुनिश्चित करते हैं कि $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ के आलेख का $(-3, 18)$ पर एक स्थानीय उच्चिष्ठ (relative maximum) और $(1, -14)$ पर एक स्थानीय निम्निष्ठ (relative minimum) होगा, दिए गए हैं:

$a = -3, b = 9, c = 9$ $a = -3, b = 9, c = 9$ $a = -3, b = -9, c = 9$ $a = -3, b = -9, c = 9$ $a = 3, b = 9, c = -9$ $a = 3, b = 9, c = -9$ $a = 3, b = -9, c = -9$ $a = 3, b = -9, c = -9$

Q.94

ICAR 2024Shift 1 MCQ (Single Correct) +4 −1

Find the interval in which the graph of the function given by $f(x) = x^4 - 4x^3 + 10$ is concave up:

वह अंतराल ज्ञात कीजिए जिसमें फलन $f(x) = x^4 - 4x^3 + 10$ का आलेख अवतल ऊपर (concave up / उत्तल) है:

$(-\infty, 1) \cup (3, \infty)$ $(-\infty, 1) \cup (3, \infty)$ $(-\infty, 0) \cup (2, \infty)$ $(-\infty, 0) \cup (2, \infty)$ $(1.5, \infty)$ $(1.5, \infty)$ $(0, 2)$ $(0, 2)$

Q.95

ICAR 2023Shift 1 MCQ (Single Correct) +4 −1

Suppose $f$ is continuous on $[a, b]$ and differentiable on $(a, b)$. If $f(a) = f(b)$, then there exists at least one number $c$ between $a$ and $b$ such that $f'(c) = 0$ is the statement of :

मान लें कि फलन $f$ अंतराल $[a, b]$ पर संतत (continuous) है और $(a, b)$ पर अवकलनीय (differentiable) है। यदि $f(a) = f(b)$ हो, तो $a$ और $b$ के बीच कम से कम एक संख्या $c$ ऐसी अवश्य होती है जिसके लिए $f'(c) = 0$ हो। यह किसका कथन है?

Lagrange's mean value theorem लैग्रेंज का मध्यमान प्रमेय Rolle's Theorem रोले का प्रमेय Fundamental theorem of calculus कलन का मूलभूत प्रमेय Fundamental theorem of algebra बीजगणित का मूलभूत प्रमेय

This is the exact, classical statement of Rolle's Theorem:
If a real-valued function $f$ is continuous on $[a, b]$, differentiable on $(a, b)$, and $f(a) = f(b)$, then there exists at least one $c \in (a, b)$ such that $f'(c) = 0$.

Detailed analysis of options:

Lagrange's Mean Value Theorem states that $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ (without requiring $f(a) = f(b)$).
Rolle's Theorem is the specific case where $f(a) = f(b)$, implying $f'(c) = 0$.
Fundamental Theorem of Calculus relates differentiation and integration.
Fundamental Theorem of Algebra states that every non-zero single-variable polynomial with complex coefficients has at least one complex root.

यह रोले के प्रमेय (Rolle's Theorem) का सटीक कथन है:
यदि कोई वास्तविक फलन $f$, संवृत अंतराल $[a, b]$ पर संतत हो, विवृत अंतराल $(a, b)$ पर अवकलनीय हो तथा $f(a) = f(b)$ हो, तो विवृत अंतराल $(a, b)$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा अवश्य होता है जहाँ $f'(c) = 0$ हो।

विकल्पों का विस्तृत विश्लेषण: