If f is continuous on an open interval containing a value x₀, and if f changes the direction of its concavity at the point (x₀, f(x₀)), then f has : / यदि फलन f मान x₀ को समाहित करने वाले विवृत अंतराल पर संतत है, और यदि f बिंदु (x₀, f(x₀)) पर अपनी अवतलता (concavity) की दिशा बदलता है, तो f का x₀ पर होता है :

an inflection point at x₀ / x₀ पर एक नति परिवर्तन बिंदु

a relative maximum at x₀ / x₀ पर एक सापेक्ष उच्चिष्ठ

a relative minimum at x₀ / x₀ पर एक सापेक्ष निम्निष्ठ

an inflection point at x₀ / x₀ पर एक नति परिवर्तन बिंदु

a saddle point at x₀ / x₀ पर एक काठी बिंदु

Statistical Sciences / Mathematics / Full Subject

144 Qs Overview

Mathematics

Official Statistical Sciences Mathematics complete subject practice test — All questions across all syllabus chapters.

Q.96

ICAR 2023Shift 1 MCQ (Single Correct) +4 −1

If $f$ is continuous on an open interval containing a value $x_0$, and if $f$ changes the direction of its concavity at the point $(x_0, f(x_0))$, then $f$ has :

यदि फलन $f$ मान $x_0$ को समाहित करने वाले विवृत अंतराल पर संतत है, और यदि $f$ बिंदु $(x_0, f(x_0))$ पर अपनी अवतलता (concavity) की दिशा बदलता है, तो $f$ का $x_0$ पर होता है :

a relative maximum at $x_0$ $x_0$ पर एक सापेक्ष उच्चिष्ठ a relative minimum at $x_0$ $x_0$ पर एक सापेक्ष निम्निष्ठ an inflection point at $x_0$ $x_0$ पर एक नति परिवर्तन बिंदु a saddle point at $x_0$ $x_0$ पर एक काठी बिंदु

A point $(x_0, f(x_0))$ on a curve where the graph changes from concave upward to concave downward, or from concave downward to concave upward, is called a point of inflection (inflection point).

Detailed analysis of options:

relative maximum occurs where $f'$ changes from positive to negative, not merely where concavity changes.
relative minimum occurs where $f'$ changes from negative to positive.
An inflection point at $x_0$ is the precise mathematical term for a change in concavity.
saddle point applies to multivariable surfaces, not single-variable curves.

किसी वक्र पर वह बिंदु $(x_0, f(x_0))$ जहाँ आलेख की अवतलता की दिशा बदलती है (अर्थात अवतल से उत्तल या उत्तल से अवतल), उसे नति परिवर्तन बिंदु (point of inflection) कहा जाता है।

विकल्पों का विस्तृत विश्लेषण:

सापेक्ष उच्चिष्ठ (relative maximum) पर $f'$ का चिन्ह धनात्मक से ऋणात्मक होता है।
सापेक्ष निम्निष्ठ (relative minimum) पर $f'$ का चिन्ह ऋणात्मक से धनात्मक होता है।
नति परिवर्तन बिंदु (inflection point) सही उत्तर है।
काठी बिंदु (saddle point) बहुचर फलनों में प्रयुक्त होता है।

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Q.97

ICAR 2023Shift 1 MCQ (Single Correct) +4 −1

A manufacturer can produce shoes at a cost of $50$ dollars per pair and estimates that if they are sold for $x$ dollars per pair, consumers will buy approximately $S(x) = 1000 e^{-0.1x}$ pair of shoes per week. The price at which the manufacturer sells the shoes to maximize profit is given by :

एक निर्माता $50$ डॉलर प्रति जोड़ी की लागत पर जूते बना सकता है और अनुमान लगाता है कि यदि उन्हें $x$ डॉलर प्रति जोड़ी पर बेचा जाए, तो उपभोक्ता प्रति सप्ताह लगभग $S(x) = 1000 e^{-0.1x}$ जोड़ी जूते खरीदेंगे। लाभ को अधिकतम करने के लिए निर्माता को किस मूल्य पर जूते बेचने चाहिए?

$x = 40$ $x = 40$ $x = 50$ $x = 50$ $x = 60$ $x = 60$ $x = 70$ $x = 70$

Profit maximization using differential calculus:
Cost per pair $= 50$, selling price per pair $= x$.
Profit per pair $= (x - 50)$.
Total profit function $P(x) = (x - 50) S(x) = 1000 (x - 50) e^{-0.1x}$.
Differentiating with respect to $x$ using product rule:
$P'(x) = 1000 [1 \cdot e^{-0.1x} + (x - 50)(-0.1) e^{-0.1x}]$
$= 1000 e^{-0.1x} [1 - 0.1(x - 50)] = 1000 e^{-0.1x} [1 - 0.1x + 5] = 1000 e^{-0.1x} [6 - 0.1x]$.
Setting $P'(x) = 0$ for maximum profit:
$6 - 0.1x = 0 \implies 0.1x = 6 \implies x = 60$.
Second derivative check: $P''(60) \lt 0$, confirming a local and global maximum.

Option breakdown:

$x = 40$ is below the production cost of 50 dollars, yielding a loss.
$x = 50$ yields zero profit.
$x = 60$ maximizes the weekly profit function.
$x = 70$ yields lower profit due to reduced sales volume.

अवकलन द्वारा लाभ का अधिकतमीकरण:
प्रति जोड़ी लागत $= 50$ डॉलर, प्रति जोड़ी विक्रय मूल्य $= x$ डॉलर।
प्रति जोड़ी लाभ $= (x - 50)$ डॉलर।
कुल साप्ताहिक लाभ फलन $P(x) = (x - 50) S(x) = 1000 (x - 50) e^{-0.1x}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$P'(x) = 1000 e^{-0.1x} [1 - 0.1(x - 50)] = 1000 e^{-0.1x} [6 - 0.1x]$.
अधिकतम लाभ के लिए $P'(x) = 0$ रखने पर:
$6 - 0.1x = 0 \implies x = 60$ डॉलर।

विकल्पों का विश्लेषण:

$x = 40$ डॉलर लागत मूल्य से कम है, जिससे हानि होगी।
$x = 50$ डॉलर पर लाभ शून्य होगा।
$x = 60$ डॉलर वह इष्टतम मूल्य है जिस पर लाभ अधिकतम होता है।
$x = 70$ डॉलर पर माँग घटने के कारण कुल लाभ कम हो जाएगा।

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Q.98

ICAR 2023Shift 1 MCQ (Single Correct) +4 −1

If a continuous function $f$ has a relative extremum at $c$, then $c$ must be :

यदि किसी सतत फलन $f$ का $c$ पर एक सापेक्ष चरम मान है, तो $c$ अवश्य होना चाहिए:

a cusp of $f$ $f$ का एक उभयाग्र a critical number of $f$ $f$ की एक क्रांतिक संख्या a pole of $f$ $f$ का एक ध्रुव a horizontal asymptote of $f$ $f$ की एक क्षैतिज अनंतस्पर्शी

Fermat's Theorem on local extrema:
If $f$ has a local (relative) extremum (maximum or minimum) at an interior point $c$, and if $f'(c)$ exists, then $f'(c) = 0$.
More generally, by definition, a critical number of a function $f$ is a number $c$ in the domain of $f$ such that either $f'(c) = 0$ or $f'(c)$ does not exist.

Therefore, any point where a continuous function has a relative extremum must be a critical number of $f$. Option breakdown:

cusp is only one specific type of non-differentiable point; many extrema occur at smooth points where $f'(c)=0$.
critical number is the correct general mathematical requirement for any relative extremum.
pole is a singularity where a function blows up to infinity, not a relative extremum.
horizontal asymptote describes end-behavior as $x \to \pm\infty$, not a local point.

फर्मेट का स्थानीय चरम मान प्रमेय:
यदि किसी सतत फलन $f$ का किसी आंतरिक बिंदु $c$ पर सापेक्ष चरम मान (उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ) है, तो उस बिंदु पर या तो $f'(c) = 0$ होगा या $f'(c)$ का अस्तित्व नहीं होगा।
परिभाषा के अनुसार ऐसे बिंदु को फलन की क्रांतिक संख्या (Critical number) कहा जाता है।

अतः सापेक्ष चरम मान होने पर $c$ अनिवार्य रूप से एक क्रांतिक संख्या होता है। विकल्पों का विश्लेषण:

उभयाग्र (Cusp) केवल अवकलनीय न होने का एक विशेष रूप है, सभी चरम मान उभयाग्र नहीं होते।
क्रांतिक संख्या सापेक्ष चरम मान के लिए आवश्यक गणितीय स्थिति है।
ध्रुव (Pole) विचित्रता होती है जहाँ फलन अपरिभाषित होता है।
क्षैतिज अनंतस्पर्शी अनंत पर व्यवहार को दर्शाती है।

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Q.99

ICAR 2023Shift 1 MCQ (Single Correct) +4 −1

Suppose $f$ is continuous on $[a, b]$ and differentiable on $(a, b)$. If $f(a) = f(b)$, then there exists at least one number $c$ between $a$ and $b$ such that :

मान लीजिए कि फलन $f$ अंतराल $[a, b]$ पर सतत है तथा $(a, b)$ पर अवकलनीय है। यदि $f(a) = f(b)$ है, तो $a$ और $b$ के मध्य कम से कम एक ऐसी संख्या $c$ का अस्तित्व होगा कि:

$f'(c) = 0$ $f'(c) = 0$ $f'(c) = b - a$ $f'(c) = b - a$ $f'(c) = \lim_{x \to a} f(x)$ $f'(c) = \lim_{x \to a} f(x)$ $f'(c) = \lim_{x \to b} f(x)$ $f'(c) = \lim_{x \to b} f(x)$

Statement of Rolle's Theorem:
Let $f$ be a function that satisfies the following three hypotheses:

$f$ is continuous on the closed interval $[a, b]$.
$f$ is differentiable on the open interval $(a, b)$.
$f(a) = f(b)$.
Then there exists at least one number $c$ in $(a, b)$ such that $f'(c) = 0$.
Geometrically, this means there is at least one point where the tangent to the curve is horizontal.

Option breakdown:
$f'(c) = 0$ is the exact conclusion of Rolle's Theorem.
$f'(c) = b - a$ does not follow from any mean value theorem.
$f'(c) = \lim_{x \to a} f(x)$ is invalid.
$f'(c) = \lim_{x \to b} f(x)$ is invalid.

रोल के प्रमेय (Rolle's Theorem) का कथन:
यदि कोई फलन $f$ निम्नलिखित तीन शर्तों को पूरा करता है:

फलन $f$ संवृत अंतराल $[a, b]$ में सतत हो।
फलन $f$ विवृत अंतराल $(a, b)$ में अवकलनीय हो।
$f(a) = f(b)$ हो।
तब अंतराल $(a, b)$ में कम से कम एक ऐसा बिंदु $c$ अवश्य उपस्थित होता है जहाँ $f'(c) = 0$ हो।
ज्यामितीय रूप से इसका अर्थ है कि वक्र पर कम से कम एक बिंदु ऐसा होगा जहाँ स्पर्श रेखा क्षैतिज होगी।

विकल्पों का विश्लेषण:
$f'(c) = 0$ रोल के प्रमेय का सही निष्कर्ष है।
$b - a$ अमान्य है।
अमान्य है।
अमान्य है।

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Q.100

ICAR 2023Shift 1 MCQ (Single Correct) +4 −1

If $f$ is continuous on $[a, b]$, then there is at least one number $c$ between $a$ and $b$ such that :

यदि फलन $f$ अंतराल $[a, b]$ पर सतत है, तो $a$ और $b$ के मध्य कम से कम एक ऐसी संख्या $c$ का अस्तित्व होगा कि:

$\int_a^b f(x)dx = f(c)(b - a)$ $\int_a^b f(x)dx = f(c)(b - a)$ $\int_a^b f(x)dx = f(a)(c - b)$ $\int_a^b f(x)dx = f(a)(c - b)$ $\int_a^b f(x)dx = f(b)(c - a)$ $\int_a^b f(x)dx = f(b)(c - a)$ $\int_a^b f(x)dx = f'(c)(b - a)$ $\int_a^b f(x)dx = f'(c)(b - a)$

Mean Value Theorem for Definite Integrals:
If $f$ is continuous on $[a, b]$, then there exists a number $c$ in $[a, b]$ such that:
$\int_a^b f(x)dx = f(c)(b - a)$.
This means that the area under the curve between $a$ and $b$ is equal to the area of a rectangle of base $(b - a)$ and height $f(c)$ (the average value of the function).

Option breakdown:

$\int_a^b f(x)dx = f(c)(b - a)$ is the precise mathematical formula for the Mean Value Theorem for Integrals.
Evaluates at fixed point $a$ with incorrect interval difference $(c - b)$.
Evaluates at fixed point $b$ with interval difference $(c - a)$.
Uses derivative $f'(c)$ instead of function value $f(c)$.

निश्चित समाकलनों के लिए मध्यमान प्रमेय:
यदि फलन $f$ संवृत अंतराल $[a, b]$ पर सतत है, तो अंतराल में कम से कम एक ऐसा बिंदु $c$ विद्यमान होता है कि:
$\int_a^b f(x)dx = f(c)(b - a)$.
इसका ज्यामितीय अर्थ है कि वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल आधार $(b - a)$ तथा ऊँचाई $f(c)$ वाले आयत के क्षेत्रफल के बराबर होता है।

विकल्पों का विश्लेषण: