Statistical Methods & Experimental Designs

Official Statistical Sciences Statistical Methods & Experimental Designs complete subject practice test — All questions across all syllabus chapters.

Q.116

ICAR 2023Shift 1 MCQ (Single Correct) +4 −1

The method of least squares dictates that we choose a regression line where the sum of the square of deviations of the points from the line is :

न्यूनतम वर्ग विधि (Method of least squares) यह निर्देशित करती है कि हमें ऐसी समाश्रयण रेखा चुननी चाहिए जहाँ रेखा से बिंदुओं के विचलनों के वर्गों का योग कैसा हो?

Maximum अधिकतम Minimum न्यूनतम Zero शून्य Negative ऋणात्मक

Analysis of the principle of least squares:

Incorrect: Maximizing squared errors would fit the worst possible line.
Correct: The method of least squares estimates regression parameters by finding line coefficients that minimize the sum of the squared vertical deviations (residuals) between the observed values and fitted values: $\sum e_i^2 = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2 = \text{minimum}$.
Incorrect: Sum of squared deviations cannot be zero unless all points lie perfectly in a straight line with zero error.
Incorrect: Sums of squares are non-negative and can never be negative.

न्यूनतम वर्ग विधि के सिद्धांत का विश्लेषण:

गलत: त्रुटि वर्गों को अधिकतम करना गलत रेखा देगा।
सही: न्यूनतम वर्ग विधि (Method of least squares) का मूल सिद्धांत यही है कि समाश्रयण रेखा इस प्रकार खींची जाए कि प्रेक्षित मानों और आकलित मानों के मध्य विचलनों के वर्गों का योग (Sum of squared residuals, $\sum e_i^2$) न्यूनतम (Minimum) हो।
गलत: यह केवल तभी शून्य हो सकता है जब सभी बिंदु पूर्णतः रेखा पर स्थित हों।
गलत: वर्गों का योग कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता।

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Q.117

ICAR 2023Shift 1 MCQ (Single Correct) +4 −1

Increasing the sample size has the following effect upon the sampling error :

प्रतिदर्श आकार (Sample size) बढ़ाने पर प्रतिचयन त्रुटि (Sampling error) पर क्या प्रभाव पड़ता है?

It increases the sampling error यह प्रतिचयन त्रुटि को बढ़ाता है It increases the standard error of the estimate यह आकलन की मानक त्रुटि को बढ़ाता है It decreases the sampling error यह प्रतिचयन त्रुटि को घटाता है It has no effect इसका कोई प्रभाव नहीं पड़ता

Q.118

ICAR 2023Shift 1 MCQ (Single Correct) +4 −1

A die is thrown $60$ times and the number of times the following faces were obtained: Faces: $1, 2, 3, 4, 5, 6$ No of times: $14, 7, 5, 8, 10, 16$ Can the die be regarded as fair? Given $\chi^2_{0.05, 5} = 11.07$:

एक पासे को $60$ बार फेंका गया और विभिन्न फलक आने की बारंबारता इस प्रकार प्राप्त हुई: फलक: $1, 2, 3, 4, 5, 6$ बारंबारता: $14, 7, 5, 8, 10, 16$ क्या पासे को निष्पक्ष माना जा सकता है? दिया गया मान: $\chi^2_{0.05, 5} = 11.07$:

The die is not fair पासा निष्पक्ष नहीं है The die is fair पासा निष्पक्ष है no conclusion कोई निष्कर्ष नहीं experiment is conducted again प्रयोग पुनः किया जाना चाहिए

Chi-Square test of goodness of fit:

Die would be deemed unfair only if calculated $\chi^2 \gt 11.07$.
For a fair die thrown $60$ times, expected frequency for each of the $6$ faces is $E = \frac{60}{6} = 10$.
Observed ($O$): $14, 7, 5, 8, 10, 16$.
$\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E} = \frac{(14-10)^2 + (7-10)^2 + (5-10)^2 + (8-10)^2 + (10-10)^2 + (16-10)^2}{10} = \frac{16 + 9 + 25 + 4 + 0 + 36}{10} = \frac{90}{10} = 9.0$.
Since calculated $\chi^2 = 9.0 \lt 11.07$ (critical value at $\alpha = 0.05, df = 5$), we accept the null hypothesis that the die is fair.
The test provides a clear statistical conclusion.
Re-running is not required since sample size and expected counts are adequate.

काई-वर्ग आसंजन सुष्ठुता परीक्षण:

पासा केवल तभी अनुचित माना जाता जब परिकलित $\chi^2 \gt 11.07$ होता।
एक निष्पक्ष पासे के लिए $60$ बार फेंकने पर प्रत्येक फलक की प्रत्याशित आवृत्ति $E = \frac{60}{6} = 10$ है।
प्रेक्षित आवृत्तियां ($O$): $14, 7, 5, 8, 10, 16$ हैं।
$\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E} = \frac{(14-10)^2 + (7-10)^2 + (5-10)^2 + (8-10)^2 + (10-10)^2 + (16-10)^2}{10} = \frac{16 + 9 + 25 + 4 + 0 + 36}{10} = \frac{90}{10} = 9.0$।
चूंकि परिकलित $\chi^2 = 9.0 \lt 11.07$ (सारणी मान), अतः शून्य परिकल्पना स्वीकार की जाती है कि पासा निष्पक्ष है।
परीक्षण स्पष्ट सांख्यिकीय निष्कर्ष देता है।
प्रयोग दोहराने की आवश्यकता नहीं है।

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Q.119

ICAR 2023Shift 1 MCQ (Single Correct) +4 −1

Given the eight sample values as $-4, -3, -3, 0, 3, 3, 4, 4$, the value of student's t-test for $H_0: \mu = 0$ is:

आठ प्रतिदर्श मान $-4, -3, -3, 0, 3, 3, 4, 4$ दिए जाने पर $H_0: \mu = 0$ हेतु स्टूडेंट टी-परीक्षण का मान क्या होगा?

$2.73$ $2.73$ $0.97$ $0.97$ $3.30$ $3.30$ $0.41$ $0.41$

Q.120

ICAR 2023Shift 1 MCQ (Single Correct) +4 −1

A random sample of size $20$ from a normal population gives a mean of $42$ and variance of $25$. To test that the population standard deviation is $8$, the value of test statistic is:

प्रसामान्य समष्टि से आकार $20$ का एक यादृच्छिक प्रतिदर्श $42$ माध्य और $25$ प्रसरण देता है। यह परीक्षण करने के लिए कि समष्टि मानक विचलन $8$ है, परीक्षण सांख्यिकी का मान क्या होगा?