Bonferroni's inequality states that for any two events C₁ and C₂: / बोनफेरोनी की असमिका (Bonferroni's inequality) के अनुसार किन्हीं दो घटनाओं C₁ और C₂ के लिए:

P(C₁ C₂) ≥ P(C₁) + P(C₂) - 1

P(C₁ C₂) ≤ P(C₁) + P(C₂)

P(C₁ C₂) ≤ P(C₁) + P(C₂) - 1

P(C₁ C₂) ≥ P(C₁) + P(C₂) - 1

P(C₁ C₂) = P(C₁) + P(C₂) - 1

Statistical Sciences / Statistical Methods & Experimental Designs / Full Subject

140 Qs Overview

Statistical Methods & Experimental Designs

Official Statistical Sciences Statistical Methods & Experimental Designs complete subject practice test — All questions across all syllabus chapters.

ICAR PG Statistical Sciences 2024Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

Bonferroni's inequality states that for any two events $C_1$ and $C_2$:

बोनफेरोनी की असमिका (Bonferroni's inequality) के अनुसार किन्हीं दो घटनाओं $C_1$ और $C_2$ के लिए:

$P(C_1 \cap C_2) \le P(C_1) + P(C_2)$ $P(C_1 \cap C_2) \le P(C_1) + P(C_2)$ $P(C_1 \cap C_2) \le P(C_1) + P(C_2) - 1$ $P(C_1 \cap C_2) \le P(C_1) + P(C_2) - 1$ $P(C_1 \cap C_2) \ge P(C_1) + P(C_2) - 1$ $P(C_1 \cap C_2) \ge P(C_1) + P(C_2) - 1$ $P(C_1 \cap C_2) = P(C_1) + P(C_2) - 1$ $P(C_1 \cap C_2) = P(C_1) + P(C_2) - 1$

ICAR PG Statistical Sciences 2024Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

A bowl contains 8 chips, 3 marked Red and 5 marked Blue. Two chips are drawn at random without replacement. What is the probability that the first chip is Red and the second chip is Blue?

एक पात्र में 8 चिप्स हैं, जिनमें 3 लाल (Red) और 5 नीली (Blue) हैं। बिना प्रतिस्थापन (without replacement) के यादृच्छिक रूप से दो चिप्स निकाली जाती हैं। पहली चिप लाल और दूसरी चिप नीली होने की प्रायिकता क्या है?

0.27 0.27 0.38 0.38 0.50 0.50 0.15 0.15

ICAR PG Statistical Sciences 2024Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

If $A$ and $B$ are two mutually exclusive events with $P(A) > 0$ and $P(B) > 0$, then the conditional probability $P(B|A)$ is:

यदि $A$ और $B$ दो परस्पर अपवर्जी (mutually exclusive) घटनाएं हैं जिनमें $P(A) > 0$ और $P(B) > 0$ है, तो सप्रतिबंध प्रायिकता $P(B|A)$ होगी:

$P(B)$ $P(B)$ 0 0 1 1 $P(A \cap B)$ $P(A \cap B)$

ICAR PG Statistical Sciences 2023Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

What is the probability of getting a head and a tail in a toss of two coins ?

दो सिक्कों को एक साथ उछालने पर एक चित (Head) और एक पट (Tail) प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है?

$0$ $0$ $1$ 1 $0.25$ 25 $0.5$ 5

ICAR PG Statistical Sciences 2023Shift 1

MCQ (Single Correct) +4 −1

Suppose three dice are rolled. Under the condition that no two show the same face, what is the probability that one of the faces is an ace ?

मान लीजिए कि तीन पासे फेंके जाते हैं। इस शर्त के तहत कि किन्हीं दो पासों पर समान फलक न आए, क्या प्रायिकता है कि किसी एक फलक पर इक्का (Ace, 1) आए?

1/4 1/4 1/2 1/2 1/3 1/3 1/6 1/6

Mathematical calculation of conditional probability:
Let event $B$ be 'no two dice show the same face' (all three dice show distinct numbers from 1 to 6).
Let event $A$ be 'one of the faces is an ace (number 1)'.

Incorrect: $1/4$ underestimates the favorable outcomes.
Correct:
Total number of permutations where all 3 dice show distinct faces:
$$n(B) = 6 \times 5 \times 4 = 120$$
Number of permutations where all 3 faces are distinct AND one of them is an ace (1):
The ace can appear on any of the 3 dice ($3$ choices). The remaining two dice must take distinct values chosen from the other 5 numbers ($5 \times 4 = 20$ choices):
$$n(A \cap B) = 3 \times (5 \times 4) = 60$$

Therefore, the conditional probability is: $$P(A | B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}$$ Equivalently, choosing 3 distinct numbers out of 6 uniformly: probability that a specific number (ace) is among the 3 chosen is $\frac{\binom{5}{2}}{\binom{6}{3}} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.

Incorrect: $1/3$ would be if only 2 distinct dice were rolled.
Incorrect: $1/6$ is unconditional probability for a single die.

सप्रतिबंध प्रायिकता (Conditional Probability) की गणना:
मान लीजिए घटना B = 'तीनों पासों पर भिन्न-भिन्न अंक आते हैं'।
घटना A = 'किसी एक फलक पर इक्का (अंक 1) आता है'।

गलत: यह एक तिहाई से भी कम मान है।
सही:
कुल संभव परिणाम जहाँ तीनों पासों पर अलग-अलग अंक आते हैं:
$$n(B) = 6 \times 5 \times 4 = 120$$
अनुकूल परिणाम जहाँ तीनों अंक भिन्न हों और उनमें एक इक्का (1) अवश्य हो:
इक्का 3 पासों में से किसी एक पर आ सकता है (3 तरीके)। शेष दो पासों पर अन्य 5 अंकों में से दो भिन्न अंक आएंगे ($5 \times 4 = 20$ तरीके):
$$n(A \cap B) = 3 \times (5 \times 4) = 60$$

अतः अभीष्ट सप्रतिबंध प्रायिकता: $$P(A | B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}$$ वैकल्पिक रूप से: 6 अंकों में से 3 भिन्न अंक चुनने पर, किसी विशिष्ट अंक (इक्का) के चुने जाने की प्रायिकता $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ होती है।

गलत: यह गणना त्रुटि से प्राप्त होता है।
गलत: $1/6$ एक पासे पर इक्का आने की सामान्य प्रायिकता है।

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