Benzoic acid is the most effective against :

Q.1

RPSC AO 2024 MCQ (Single Correct) +1 −0.33

बेंजोइक एसिड (Benzoic acid) किसके विरुद्ध सबसे अधिक प्रभावी है ?

Actinomycetes एक्टिनोमाइसिटीज Virus विषाणु Bacteria जीवाणु Yeast यीस्ट

Benzoic acid (and its salt Sodium Benzoate, used at $0.06-0.10\%$ in coloured fruit juices and squashes) exerts its maximum antimicrobial action under acidic conditions ($pH\;2.5-4.0$) where the molecule remains undissociated.
In this undissociated form, benzoic acid readily permeates the microbial cell membrane and inhibits yeast fermentation enzymes and cellular respiration, making it primarily effective against Yeasts (and molds).
In contrast, Potassium Metabisulphite ($KMS / SO_2$) is more potent against bacteria and molds.
Hence, Benzoic acid is most effective against Yeast (Option 4).

बेंजोइक अम्ल (तथा इसका सोडियम साल्ट - सोडियम बेंजोएट) अम्लीय माध्यम ($pH\;2.5-4.0$) में अन-आयनित रूप में रहता है, जो सूक्ष्मजीवों की कोशिका झिल्ली को आसानी से पार कर लेता है।
यह कोशिका के भीतर एंजाइमों के कार्य को बाधित करके विशेष रूप से खमीर (यीस्ट / Yeast) के किण्वन और वृद्धि को रोकता है।
रंगीन फलों के रस, जैम एवं स्क्वैश में यीस्ट संदूषण से बचाव हेतु सोडियम बेंजोएट (600-1000 ppm) का उपयोग किया जाता है।
अतः बेंजोइक एसिड यीस्ट के विरुद्ध सर्वाधिक प्रभावी है (विकल्प 4)।

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Q.2

RPSC AO 2024 MCQ (Single Correct) +1 −0.33

The geometric mean of $\frac{1}{16}$ and $\frac{4}{25}$ is :

$\frac{1}{16}$ और $\frac{4}{25}$ का गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean) है :

0.10 0.10 0.01 0.01 0.50 0.50 0.40 0.40

Q.3

RPSC AO 2024 MCQ (Single Correct) +1 −0.33

If $r = \pm 1$, the two regression lines are :

यदि $r = \pm 1$ हो, तो प्रतीपगमन की दो रेखाएँ (Regression lines) :

Parallel. समानान्तर होती हैं Perpendicular to each other. एक दूसरे के लम्बवत् होती हैं Intersect at any point. किसी भी बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं None of these इनमें से कोई नहीं

The acute angle $\theta$ between the two linear regression lines ($Y$ on $X$ and $X$ on $Y$) is given by:
$$\tan \theta = \left(\frac{1 - r^2}{|r|}\right) \left(\frac{\sigma_x \sigma_y}{\sigma_x^2 + \sigma_y^2}\right)$$
When correlation is perfect, i.e., $r = \pm 1$, the numerator becomes $1 - (\pm 1)^2 = 0$, giving $\tan \theta = 0$, which means $\theta = 0^\circ$.
When the angle between two lines is $0^\circ$, the two regression lines coincide with each other (are collinear/coincident, which in geometric analysis implies they have identical slopes and are parallel/coincident lines).
When $r = 0$, $\tan \theta = \infty$, and the lines are perpendicular ($\theta = 90^\circ$). Hence, when $r = \pm 1$, they are parallel/coincident (Option 1).

दो प्रतीपगमन रेखाओं ($Y$ का $X$ पर तथा $X$ का $Y$ पर) के मध्य का कोण $\theta$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$$\tan \theta = \left(\frac{1 - r^2}{|r|}\right) \left(\frac{\sigma_x \sigma_y}{\sigma_x^2 + \sigma_y^2}\right)$$
जब दो चरों के मध्य पूर्ण सहसंबंध होता है ($r = +1$ अथवा $r = -1$), तब $1 - r^2 = 0$ हो जाता है, जिससे $\tan \theta = 0$ अर्थात $\theta = 0^\circ$ प्राप्त होता है।
कोण $0^\circ$ होने पर दोनों प्रतीपगमन रेखाएँ एक-दूसरे के संपाती (Coincident) या समानान्तर (Parallel) हो जाती हैं।
यदि $r = 0$ हो तो दोनों रेखाएँ परस्पर लम्बवत् ($90^\circ$) होती हैं। अतः $r = \pm 1$ होने पर रेखाएँ समानान्तर/संपाती होती हैं (विकल्प 1)।

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Q.4

RPSC AO 2024 MCQ (Single Correct) +1 −0.33

X and Y are discrete random variables. If $\text{Var}(X) = \text{Var}(Y) = \sigma^2$, $\text{Cov}(X, Y) = \frac{\sigma^2}{2}$, find $\text{Corr}(2X + 3, 2Y - 3)$.

$X$ और $Y$ असंतत यादृच्छिक चर हैं। यदि $\text{Var}(X) = \text{Var}(Y) = \sigma^2$, $\text{Cov}(X, Y) = \frac{\sigma^2}{2}$, तो $\text{Corr}(2X + 3, 2Y - 3)$ का मान ज्ञात कीजिए :

1 1 0 0 0.5 0.5 0.67 0.67

First, calculate the original correlation coefficient $\text{Corr}(X, Y)$:
$$\text{Corr}(X, Y) = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)} \sqrt{\text{Var}(Y)}} = \frac{\frac{\sigma^2}{2}}{\sqrt{\sigma^2} \sqrt{\sigma^2}} = \frac{\sigma^2 / 2}{\sigma^2} = 0.5$$
By the property of linear transformation of correlation:
$$\text{Corr}(aX + b, cY + d) = \frac{ac}{|ac|} \text{Corr}(X, Y)$$
where $b$ and $d$ are shifts in origin, and $a$ and $c$ are scale factors.
Here, $a = 2 \gt 0$ and $c = 2 \gt 0$. Since both scale factors have the same positive sign ($ac = 2 \times 2 = 4 \gt 0$), we have:
$$\text{Corr}(2X + 3, 2Y - 3) = \text{Corr}(X, Y) = 0.5$$
Hence, the correlation coefficient remains 0.5 (Option 3).

सर्वप्रथम $X$ और $Y$ के बीच मूल सहसंबंध गुणांक $\text{Corr}(X, Y)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$$\text{Corr}(X, Y) = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{\frac{\sigma^2}{2}}{\sqrt{\sigma^2} \cdot \sqrt{\sigma^2}} = \frac{\sigma^2 / 2}{\sigma^2} = 0.5$$
सहसंबंध गुणांक मूलबिंदु (Origin) तथा पैमाने (Scale) के परिवर्तन से अप्रभावित रहता है, बशर्ते दोनों चरों के पैमाने के गुणांक ($a$ एवं $c$) समान चिन्ह के हों:
$$\text{Corr}(aX + b, cY + d) = \frac{ac}{|ac|} \text{Corr}(X, Y)$$
यहाँ $a = 2$ तथा $c = 2$ दोनों धनात्मक हैं ($ac = 4 \gt 0$), अतः:
$$\text{Corr}(2X + 3, 2Y - 3) = \text{Corr}(X, Y) = 0.5$$
अतः सही उत्तर विकल्प 3 (0.5) है।