If r = ± 1, the two regression lines are : / यदि r = ± 1 हो, तो प्रतीपगमन की दो रेखाएँ (Regression lines) :

(1) Parallel. / समानान्तर होती हैं Explanation (English): (A) The acute angle θ between the two linear regression lines (Y on X and X on Y) is given by: θ = ((1 - r²/|r|)) ((ₓ /ₓ² + ²)) (B) When correlation is perfect, i.e., r = ± 1, the numerator becomes 1 - (± 1)² = 0, giving θ = 0, which means θ = 0°. (C) When the angle between two lines is 0°, the two regression lines coincide with each other (are collinear/coincident, which in geometric analysis implies they have identical slopes and are parallel/coincident lines). (D) When r = 0, θ = ∞, and the lines are perpendicular (θ = 90°). Hence, when r = ± 1, they are parallel/coincident (Option 1). व्याख्या (हिंदी): (A) दो प्रतीपगमन रेखाओं (Y का X पर तथा X का Y पर) के मध्य का कोण θ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: θ = ((1 - r²/|r|)) ((ₓ /ₓ² + ²)) (B) जब दो चरों के मध्य पूर्ण सहसंबंध होता है (r = +1 अथवा r = -1), तब 1 - r² = 0 हो जाता है, जिससे θ = 0 अर्थात θ = 0° प्राप्त होता है। (C) कोण 0° होने पर दोनों प्रतीपगमन रेखाएँ एक-दूसरे के संपाती (Coincident) या समानान्तर (Parallel) हो जाती हैं। (D) यदि r = 0 हो तो दोनों रेखाएँ परस्पर लम्बवत् (90°) होती हैं। अतः r = ± 1 होने पर रेखाएँ समानान्तर/संपाती होती हैं (विकल्प 1)।

यदि r = ± 1 हो, तो प्रतीपगमन की दो रेखाएँ (Regression lines) :

RPSC AO 19 Jan 2025

MCQ (Single Correct) +1 −0.33

If $r = \pm 1$, the two regression lines are :

यदि $r = \pm 1$ हो, तो प्रतीपगमन की दो रेखाएँ (Regression lines) :

Parallel. समानान्तर होती हैं Correct Perpendicular to each other. एक दूसरे के लम्बवत् होती हैं Intersect at any point. किसी भी बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं None of these इनमें से कोई नहीं

The acute angle $\theta$ between the two linear regression lines ($Y$ on $X$ and $X$ on $Y$) is given by:
$$\tan \theta = \left(\frac{1 - r^2}{|r|}\right) \left(\frac{\sigma_x \sigma_y}{\sigma_x^2 + \sigma_y^2}\right)$$
When correlation is perfect, i.e., $r = \pm 1$, the numerator becomes $1 - (\pm 1)^2 = 0$, giving $\tan \theta = 0$, which means $\theta = 0^\circ$.
When the angle between two lines is $0^\circ$, the two regression lines coincide with each other (are collinear/coincident, which in geometric analysis implies they have identical slopes and are parallel/coincident lines).
When $r = 0$, $\tan \theta = \infty$, and the lines are perpendicular ($\theta = 90^\circ$). Hence, when $r = \pm 1$, they are parallel/coincident (Option 1).

दो प्रतीपगमन रेखाओं ($Y$ का $X$ पर तथा $X$ का $Y$ पर) के मध्य का कोण $\theta$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$$\tan \theta = \left(\frac{1 - r^2}{|r|}\right) \left(\frac{\sigma_x \sigma_y}{\sigma_x^2 + \sigma_y^2}\right)$$
जब दो चरों के मध्य पूर्ण सहसंबंध होता है ($r = +1$ अथवा $r = -1$), तब $1 - r^2 = 0$ हो जाता है, जिससे $\tan \theta = 0$ अर्थात $\theta = 0^\circ$ प्राप्त होता है।
कोण $0^\circ$ होने पर दोनों प्रतीपगमन रेखाएँ एक-दूसरे के संपाती (Coincident) या समानान्तर (Parallel) हो जाती हैं।
यदि $r = 0$ हो तो दोनों रेखाएँ परस्पर लम्बवत् ($90^\circ$) होती हैं। अतः $r = \pm 1$ होने पर रेखाएँ समानान्तर/संपाती होती हैं (विकल्प 1)।

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