The second central moment about the arithmetic mean is always equal to :
माध्य के परितः दूसरा केंद्रीय आघूर्ण (Second central moment) हमेशा किसके बराबर होता है?
EXPLANATION
वर्णनात्मक सांख्यिकी, सहसंबंध एवं समाश्रयण
- In statistics, central moments ($\mu_r$) are moments calculated about the arithmetic mean ($\bar{X}$):
$$\mu_r = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (X_i - \bar{X})^r$$ - The first central moment is always zero: $\mu_1 = \frac{1}{N} \sum (X_i - \bar{X}) = 0$.
- The second central moment is:
$$\mu_2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (X_i - \bar{X})^2 = \sigma^2 = \text{Variance}$$ - Standard deviation is the positive square root of the second central moment ($\sigma = \sqrt{\mu_2}$). Therefore, the second central moment itself is exactly Variance (Option 1).
- सांख्यिकी में समांतर माध्य ($\bar{X}$) के परितः निकाले गए आघूर्ण को 'केंद्रीय आघूर्ण' (Central moment - $\mu_r$) कहा जाता है।
- प्रथम केंद्रीय आघूर्ण का मान सदैव शून्य होता है ($\mu_1 = 0$)।
- द्वितीय केंद्रीय आघूर्ण ($\mu_2$) का सूत्र है:
$$\mu_2 = \frac{\sum (X - \bar{X})^2}{N} = \sigma^2$$
यह सूत्र सीधे प्रसरण (Variance) की परिभाषा है। - मानक विचलन ($\sigma$) प्रसरण का वर्गमूल होता है। अतः दूसरा केंद्रीय आघूर्ण 'प्रसरण' (Variance) के बराबर होता है (विकल्प 1 सही है)।
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