In the circuit shown below, a current $3I$ enters at A. The semicircular parts ABC and ADC have equal radii $r$ but resistances $2R$ and $R$ respectively. The magnetic field at the center of the circular loop ABCD is ___________.
नीचे दिखाए गए परिपथ में, A पर $3I$ धारा प्रवेश करती है। अर्धवृत्ताकार भागों ABC और ADC की समान त्रिज्या $r$ है, किंतु प्रतिरोध क्रमशः $2R$ और $R$ हैं। वृत्ताकार लूप ABCD के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र ___________ होगा।
EXPLANATION
चुंबकत्व व धारा प्रभाव
- Current division in parallel branches:
The two semicircular branches ABC (resistance $2R$) and ADC (resistance $R$) are in parallel.
Current divides inversely to resistance:
$$I_1 (\text{along ABC}) = 3I \times \frac{R}{2R + R} = I$$
$$I_2 (\text{along ADC}) = 3I \times \frac{2R}{2R + R} = 2I$$ - Magnetic field at the center of a semicircular arc carrying current is $B = \frac{\mu_0 I}{4r}$:
- The current $I_1 = I$ in ABC flows clockwise $\rightarrow \vec{B}_1 = \frac{\mu_0 I}{4r}$ into the plane ($\otimes$).
- The current $I_2 = 2I$ in ADC flows anticlockwise $\rightarrow \vec{B}_2 = \frac{\mu_0 (2I)}{4r}$ out of the plane ($\odot$).
- Net magnetic field at the center:
$$\vec{B}_{\text{net}} = \vec{B}_2 - \vec{B}_1 = \frac{2\mu_0 I}{4r} - \frac{\mu_0 I}{4r} = \frac{\mu_0 I}{4r}\quad (\text{directed out of the plane})$$
Hence, option 1 is the correct answer.
- समानांतर शाखाओं में धारा विभाजन:
शाखा ABC का प्रतिरोध $2R$ तथा ADC का प्रतिरोध $R$ है।
व्युत्क्रमानुपाती विभाजन से:
$$I_1 (\text{ABC में}) = 3I \times \frac{R}{3R} = I\quad (\text{दक्षिणावर्त})$$
$$I_2 (\text{ADC में}) = 3I \times \frac{2R}{3R} = 2I\quad (\text{वामावर्त})$$ - अर्धवृत्त के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4r}$ होता है:
- दक्षिणावर्त धारा $I$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र तल के अंदर ($\\otimes$) की ओर: $\vec{B}_1 = \frac{\mu_0 I}{4r}$
- वामावर्त धारा $2I$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र तल से बाहर ($\odot$) की ओर: $\vec{B}_2 = \frac{2\mu_0 I}{4r}$
- परिणामी चुंबकीय क्षेत्र:
$$\vec{B}_{\text{net}} = \frac{2\mu_0 I}{4r} - \frac{\mu_0 I}{4r} = \frac{\mu_0 I}{4r}\quad (\text{तल से बाहर की ओर})$$
अतः विकल्प 1 सही उत्तर है।
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