A cell of constant emf is first connected to a resistance $R_1$ and then to $R_2$. If the power delivered in both cases is the same, then the internal resistance of the cell is:
नियत विद्युत वाहक बल (emf) का एक सेल पहले प्रतिरोध $R_1$ से और फिर $R_2$ से जोड़ा जाता है। यदि दोनों स्थितियों में दी गई शक्ति समान है, तो सेल का आंतरिक प्रतिरोध है:
Let the emf of the cell be $E$ and its internal resistance be $r$.
The power delivered to external resistance $R$ is:
Given $P_1 = P_2$ for resistances $R_1$ and $R_2$:
$$\frac{E^2 R_1}{(R_1 + r)^2} = \frac{E^2 R_2}{(R_2 + r)^2}$$Taking the square root on both sides:
$$\frac{\sqrt{R_1}}{R_1 + r} = \frac{\sqrt{R_2}}{R_2 + r}$$ $$\sqrt{R_1}(R_2 + r) = \sqrt{R_2}(R_1 + r)$$ $$R_2\sqrt{R_1} + r\sqrt{R_1} = R_1\sqrt{R_2} + r\sqrt{R_2}$$ $$r(\sqrt{R_2} - \sqrt{R_1}) = R_2\sqrt{R_1} - R_1\sqrt{R_2} = \sqrt{R_1 R_2}(\sqrt{R_2} - \sqrt{R_1})$$Since $R_1 \neq R_2$:
$$r = \sqrt{R_1 R_2}$$Hence, option 1 is the correct answer.
माना सेल का विद्युत वाहक बल $E$ तथा आंतरिक प्रतिरोध $r$ है।
बाह्य प्रतिरोध $R$ में उपभुक्त शक्ति:
दिया गया है कि दोनों स्थितियों में शक्ति समान है ($P_1 = P_2$):
$$\frac{R_1}{(R_1 + r)^2} = \frac{R_2}{(R_2 + r)^2}$$दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$$\frac{\sqrt{R_1}}{R_1 + r} = \frac{\sqrt{R_2}}{R_2 + r}$$ $$\sqrt{R_1}(R_2 + r) = \sqrt{R_2}(R_1 + r)$$ $$r(\sqrt{R_2} - \sqrt{R_1}) = \sqrt{R_1 R_2}(\sqrt{R_2} - \sqrt{R_1})$$ $$r = \sqrt{R_1 R_2}$$अतः विकल्प 1 सही उत्तर है।
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