A conducting ring of radius $r$ is placed in a varying magnetic field perpendicular to the plane of the ring. If the rate at which the magnetic field varies is $x$, the electric field intensity at any point of the ring is ___________.
त्रिज्या $r$ के एक चालक वलय को, वलय के तल के लंबवत, एक परिवर्ती चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है। यदि चुंबकीय क्षेत्र में परिवर्तन की दर $x$ है, तो वलय के किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता ___________ होगी।
According to Faraday's law of electromagnetic induction in Maxwell's form, a time-varying magnetic field induces a non-electrostatic electric field $\vec{E}$:
$$\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$$- By cylindrical symmetry, the induced electric field lines form concentric circles coaxial with the ring, so $E$ is tangential and uniform along the circumference of radius $r$:
$$\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = E (2\pi r)$$ - The magnetic flux through the ring of area $A = \pi r^2$ is $\Phi_B = B (\pi r^2)$:
$$\left|\frac{d\Phi_B}{dt}\right| = \pi r^2 \frac{dB}{dt} = \pi r^2 x$$ - Equating magnitudes:
$$E (2\pi r) = \pi r^2 x \implies E = \frac{\pi r^2 x}{2\pi r} = \frac{rx}{2}$$
Hence, option 2 is the correct answer.
फैराडे-मैक्सवेल नियम के अनुसार, समय के साथ बदलते चुंबकीय क्षेत्र द्वारा प्रेरित विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ उत्पन्न होता है:
$$\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = \left|\frac{d\Phi_B}{dt}\right|$$- सममिति से वलय की परिधि पर विद्युत क्षेत्र स्पर्शरेखीय तथा एकसमान होता है:
$$\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = E(2\pi r)$$ - चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन की दर:
$$\frac{d\Phi_B}{dt} = A \frac{dB}{dt} = (\pi r^2) x$$ - दोनों को बराबर रखने पर:
$$E(2\pi r) = \pi r^2 x \implies E = \frac{rx}{2}$$
अतः विकल्प 2 सही उत्तर है।
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