A charged particle accelerated through a potential difference of $V$ volts acquires a speed $u$. The particle is then made to enter perpendicularly in a uniform magnetic field $B$. The radius of the circular path followed by the charged particle will be proportional to:
$V$ वोल्ट के विभवांतर से त्वरित एक आवेशित कण चाल $u$ प्राप्त करता है। इसके बाद कण को एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में लंबवत प्रवेश कराया जाता है। आवेशित कण द्वारा तय किए गए वृत्ताकार पथ की त्रिज्या किसके समानुपाती होगी?
EXPLANATION
Magnetic Effects & Magnetism
- When a particle of mass $m$ and charge $q$ is accelerated from rest through potential difference $V$:
$$q V = \frac{1}{2} m u^2 \implies \frac{q}{m} = \frac{u^2}{2V}$$ - In a perpendicular uniform magnetic field $B$, the magnetic Lorentz force provides the necessary centripetal force:
$$q u B = \frac{m u^2}{r} \implies r = \frac{m u}{q B}$$ - Substituting $\frac{m}{q} = \frac{2V}{u^2}$:
$$r = \frac{u}{B} \left(\frac{2V}{u^2}\right) = \frac{2V}{B u}$$ - Since $B$ is constant, the radius is directly proportional to $V/u$:
$$r \propto \frac{V}{u}$$
Hence, option 1 is the correct answer.
- विभवांतर $V$ द्वारा त्वरित होने पर गतिज ऊर्जा:
$$q V = \frac{1}{2} m u^2 \implies \frac{m}{q} = \frac{2V}{u^2}$$ - चुंबकीय क्षेत्र में वृत्ताकार पथ की त्रिज्या:
$$r = \frac{m u}{q B}$$ - $\frac{m}{q}$ का मान रखने पर:
$$r = \frac{u}{B} \left(\frac{2V}{u^2}\right) = \frac{2V}{B u} \propto \frac{V}{u}$$
अतः वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $V/u$ के समानुपाती होगी।
अतः विकल्प 1 सही उत्तर है।
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