A long solenoid of diameter $0.1\,\text{m}$ has $2 \times 10^4\,\text{turns/m}$. At the centre of the solenoid a coil of $100\,\text{turns}$ and radius $0.01\,\text{m}$ is placed with its axis coinciding with the solenoid axis. The current in the solenoid reduces at a constant rate to $0\,\text{A}$ from $4\,\text{A}$ in $0.05\,\text{s}$. If the resistance of the coil is $10\pi^2\,\Omega$, then the total charge flowing through the coil during this time is ___________.
$0.1\,\text{m}$ व्यास के एक लंबे परिनालिका (solenoid) में प्रति मीटर $2 \times 10^4$ फेरे (turns) हैं। परिनालिका के केंद्र में, $100$ फेरे और $0.01\,\text{m}$ त्रिज्या की एक कुंडली को, इसके अक्ष को परिनालिका के अक्ष के संपाती रखकर स्थापित किया जाता है। परिनालिका में धारा $0.05\,\text{s}$ में $4\,\text{A}$ से घटकर $0\,\text{A}$ हो जाती है। यदि कुंडली का प्रतिरोध $10\pi^2\,\Omega$ है, तो इस समय के दौरान कुंडली से प्रवाहित होने वाला कुल आवेश ___________ होगा।
EXPLANATION
प्रेरण एवं प्रत्यावर्ती धारा
- Magnetic field inside the long solenoid carrying current $I$ is:
$$B = \mu_0 n I$$
Initial magnetic field for $I = 4\,\text{A}$ and $n = 2 \times 10^4\,\text{m}^{-1}$:
$$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times (2 \times 10^4) \times 4 = 3.2\pi \times 10^{-2}\,\text{T}$$
Final magnetic field is zero, so $\Delta B = 3.2\pi \times 10^{-2}\,\text{T}$. - The coil at the centre has $N = 100$ turns and radius $r = 0.01\,\text{m} = 10^{-2}\,\text{m}$, so area $A = \pi r^2 = \pi (10^{-2})^2 = 10^{-4}\pi\,\text{m}^2$.
Total change in magnetic flux linkage through the coil is:
$$\Delta \Phi = N (\Delta B) A = 100 \times (3.2\pi \times 10^{-2}) \times (10^{-4}\pi) = 3.2\pi^2 \times 10^{-4}\,\text{Wb}$$ - Total charge flowing through a circuit of resistance $R = 10\pi^2\,\Omega$ during flux change is:
$$\Delta Q = \frac{\Delta \Phi}{R} = \frac{3.2\pi^2 \times 10^{-4}\,\text{Wb}}{10\pi^2\,\Omega} = 0.32 \times 10^{-4}\,\text{C} = 32 \times 10^{-6}\,\text{C} = 32\,\mu\text{C}$$
Hence, option 2 is the correct answer.
- परिनालिका में चुंबकीय क्षेत्र:
$$B = \mu_0 n I = (4\pi \times 10^{-7}) \times (2 \times 10^4) \times 4 = 3.2\pi \times 10^{-2}\,\text{T}$$ - $N = 100$ फेरों तथा $r = 0.01\,\text{m}$ वाली आंतरिक कुंडली से संबद्ध कुल चुंबकीय फ्लक्स परिवर्तन:
$$\Delta\Phi = N \cdot B \cdot (\pi r^2) = 100 \times (3.2\pi \times 10^{-2}) \times (\pi \times 10^{-4}) = 3.2\pi^2 \times 10^{-4}\,\text{Wb}$$ - परिपथ से प्रवाहित कुल आवेश:
$$q = \frac{\Delta\Phi}{R} = \frac{3.2\pi^2 \times 10^{-4}}{10\pi^2} = 0.32 \times 10^{-4}\,\text{C} = 32\,\mu\text{C}$$
अतः विकल्प 2 सही उत्तर है।
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