Two nuclei have mass numbers $A$ and $B$ respectively. The density ratio of the nuclei is ______________.
दो नाभिकों की द्रव्यमान संख्या क्रमशः $A$ और $B$ है। नाभिकों के घनत्व का अनुपात __________ है।
EXPLANATION
Atoms and Nuclei
- The radius of a nucleus of mass number $A$ is given by $R = R_0 A^{1/3}$, where $R_0 \approx 1.2\,\text{fm}$.
- The volume of the nucleus is:
$$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3}\pi R_0^3 A$$ - The mass of the nucleus is $M \approx A \cdot m_N$, where $m_N$ is the average mass of a nucleon.
- Therefore, the nuclear density is:
$$\rho = \frac{M}{V} = \frac{A \cdot m_N}{\frac{4}{3}\pi R_0^3 A} = \frac{m_N}{\frac{4}{3}\pi R_0^3} = \text{constant} \approx 2.3 \times 10^{17}\,\text{kg/m}^3$$
Since the nuclear density is completely independent of the mass number $A$, the ratio of densities of any two nuclei is $1 : 1$.
Hence, option 4 is the correct answer.
- नाभिक की त्रिज्या $R = R_0 A^{1/3}$ होती है।
- नाभिक का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi R_0^3 A$ होता है।
- नाभिक का द्रव्यमान $M \approx A \cdot m_N$ होता है।
- अतः नाभिकीय घनत्व:
$$\rho = \frac{M}{V} = \frac{A \cdot m_N}{\frac{4}{3}\pi R_0^3 A} = \frac{m_N}{\frac{4}{3}\pi R_0^3} = \text{स्थिरांक}$$
नाभिकीय घनत्व द्रव्यमान संख्या पर निर्भर नहीं करता, अतः दो नाभिकों के घनत्व का अनुपात $1 : 1$ होता है।
अतः विकल्प 4 सही उत्तर है।
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