A proton, a deuteron, an electron and an $\alpha$-particle have the same kinetic energy. Their de Broglie wavelengths are $\lambda_p, \lambda_d, \lambda_e$ and $\lambda_\alpha$ respectively. The correct arrangement in increasing order is:
एक प्रोटॉन, एक ड्यूट्रॉन, एक इलेक्ट्रॉन और एक $\alpha$-कण की गतिज ऊर्जा समान है। उनकी दे ब्रॉग्ली तरंगदैर्घ्य क्रमशः $\lambda_p, \lambda_d, \lambda_e$ और $\lambda_\alpha$ हैं। बढ़ते क्रम में सही व्यवस्था है:
EXPLANATION
द्रव्य-विकिरण द्वैत प्रकृति
The de Broglie wavelength of a particle of mass $m$ and kinetic energy $E$ is:
$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$$Since the kinetic energy $E$ is identical for all particles:
$$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$$Comparing the masses of the given particles:
- Mass of electron: $m_e \approx 9.1 \times 10^{-31}\,\text{kg}$
- Mass of proton: $m_p \approx 1\,\text{u}$
- Mass of deuteron: $m_d \approx 2\,\text{u}$
- Mass of $\alpha$-particle: $m_\alpha \approx 4\,\text{u}$
Order of mass:
$$m_e \lt m_p \lt m_d \lt m_\alpha$$Because wavelength is inversely proportional to the square root of mass:
$$\lambda_\alpha \lt \lambda_d \lt \lambda_p \lt \lambda_e$$Hence, option 2 is the correct answer.
द्रव्यमान $m$ और गतिज ऊर्जा $E$ वाले कण की दे ब्रॉग्ली तरंगदैर्घ्य निम्न सूत्र से दी जाती है:
$$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$$चूंकि सभी कणों की गतिज ऊर्जा $E$ समान है:
$$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$$कणों के द्रव्यमानों की तुलना:
- इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान: $m_e \approx 9.1 \times 10^{-31}\,\text{kg}$
- प्रोटॉन का द्रव्यमान: $m_p \approx 1\,\text{u}$
- ड्यूट्रॉन का द्रव्यमान: $m_d \approx 2\,\text{u}$
- $\alpha$-कण का द्रव्यमान: $m_\alpha \approx 4\,\text{u}$
द्रव्यमान का क्रम: $m_e \lt m_p \lt m_d \lt m_\alpha$
चूंकि तरंगदैर्घ्य द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है, अतः तरंगदैर्घ्य का बढ़ता क्रम होगा:
अतः विकल्प 2 सही उत्तर है।
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