An astronomical telescope consists of an objective of focal length $50\,\text{cm}$ and eyepiece of focal length $2\,\text{cm}$ is focused on the moon so that the final image is formed at the least distance of distinct vision ($25\,\text{cm}$). Assuming angular diameter of moon as $(1/2)^\circ$ at the objective, the angular size of image is:
एक खगोलीय दूरदर्शक में $50\,\text{cm}$ फोकस दूरी का अभिदृश्यक और $2\,\text{cm}$ फोकस दूरी की नेत्रिका है। इसे चंद्रमा पर इस प्रकार फोकसित किया जाता है कि अंतिम प्रतिबिंब स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी ($25\,\text{cm}$) पर बनता है। अभिदृश्यक पर चंद्रमा का कोणीय व्यास $(1/2)^\circ$ मानते हुए, प्रतिबिंब का कोणीय आकार क्या होगा?
EXPLANATION
किरण प्रकाशिकी एवं प्रकाशिक यंत्र
When the final image is formed at the near point (least distance of distinct vision $D = 25\,\text{cm}$), the magnifying power of an astronomical telescope is:
$$m = \frac{f_o}{f_e} \left(1 + \frac{f_e}{D}\right)$$Given:
- $f_o = 50\,\text{cm}$
- $f_e = 2\,\text{cm}$
- $D = 25\,\text{cm}$
Calculating magnification $m$:
$$m = \frac{50}{2} \left(1 + \frac{2}{25}\right) = 25 \times \left(\frac{27}{25}\right) = 27$$The angular magnification is also defined as the ratio of the angular size of the image ($\beta$) to the angular size of the object ($\alpha$):
$$m = \frac{\beta}{\alpha} \implies \beta = m \times \alpha$$Given $\alpha = \left(\frac{1}{2}\right)^\circ$:
$$\beta = 27 \times \left(\frac{1}{2}\right)^\circ = 13.5^\circ$$Hence, option 2 is the correct answer.
जब अंतिम प्रतिबिंब स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी ($D = 25\,\text{cm}$) पर बनता है, तो खगोलीय दूरदर्शक की आवर्धन क्षमता निम्न होती है:
$$m = \frac{f_o}{f_e} \left(1 + \frac{f_e}{D}\right)$$दिए गए मान:
- $f_o = 50\,\text{cm}$
- $f_e = 2\,\text{cm}$
- $D = 25\,\text{cm}$
आवर्धन $m$ की गणना:
$$m = \frac{50}{2} \left(1 + \frac{2}{25}\right) = 25 \times \frac{27}{25} = 27$$कोणीय आवर्धन का सूत्र:
$$m = \frac{\beta}{\alpha} \implies \beta = m \times \alpha$$यहाँ वस्तु (चंद्रमा) का कोणीय व्यास $\alpha = \left(\frac{1}{2}\right)^\circ$ है:
$$\beta = 27 \times 0.5^\circ = 13.5^\circ$$अतः विकल्प 2 सही उत्तर है।
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