A spherical air lens of radii $R_1 = R_2 = 10\,\text{cm}$ is cut from a glass ($\mu = 1.5$) cylinder as shown in the figure. Its focal length is $f_1$. If a liquid of refractive index $2$ is filled in the space, then the focal length of the liquid lens becomes $f_2$. Calculate $f_1$ and $f_2$. Choose the correct options from the following:
कांच ($\mu = 1.5$) के बेलन से $R_1 = R_2 = 10\,\text{cm}$ त्रिज्याओं वाला एक गोलीय वायु लेंस काटा गया है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। इसकी फोकस दूरी $f_1$ है। यदि इस खाली स्थान में अपवर्तनांक $2$ वाला एक द्रव भर दिया जाए, तो द्रव लेंस की फोकस दूरी $f_2$ हो जाती है। $f_1$ और $f_2$ की गणना कीजिए। निम्नलिखित में से सही विकल्प चुनिए:
EXPLANATION
Ray Optics & Optical Instruments
By Lens Maker's Formula for a lens of refractive index $\mu_L$ immersed in a medium of refractive index $\mu_M$:
$$\frac{1}{f} = \left(\frac{\mu_L}{\mu_M} - 1\right) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$$For the biconvex cavity geometry with $R_1 = +10\,\text{cm}$ and $R_2 = -10\,\text{cm}$:
$$\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) = \frac{1}{10} - \left(-\frac{1}{10}\right) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}\,\text{cm}^{-1}$$Case 1 (Air cavity in glass: $\mu_L = 1$, $\mu_M = 1.5$):
$$\frac{1}{f_1} = \left(\frac{1}{1.5} - 1\right) \left(\frac{1}{5}\right) = \left(\frac{2}{3} - 1\right) \left(\frac{1}{5}\right) = -\frac{1}{3} \times \frac{1}{5} = -\frac{1}{15}\,\text{cm}^{-1}$$ $$f_1 = -15\,\text{cm}$$Case 2 (Liquid lens in glass: $\mu_L = 2$, $\mu_M = 1.5$):
$$\frac{1}{f_2} = \left(\frac{2}{1.5} - 1\right) \left(\frac{1}{5}\right) = \left(\frac{4}{3} - 1\right) \left(\frac{1}{5}\right) = +\frac{1}{3} \times \frac{1}{5} = +\frac{1}{15}\,\text{cm}^{-1}$$ $$f_2 = +15\,\text{cm}$$Thus, $f_1 = -15\,\text{cm}$ and $f_2 = +15\,\text{cm}$.
Hence, option 3 is the correct answer.
माध्यम $\mu_M$ में रखे लेंस (अपवर्तनांक $\mu_L$) के लिए लेंस निर्माता सूत्र:
$$\frac{1}{f} = \left(\frac{\mu_L}{\mu_M} - 1\right) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$$उभयोत्तल गुहिका के लिए $R_1 = +10\,\text{cm}$ और $R_2 = -10\,\text{cm}$:
$$\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) = \frac{1}{10} - \left(-\frac{1}{10}\right) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}\,\text{cm}^{-1}$$स्थिति 1 (कांच में वायु लेंस: $\mu_L = 1$, $\mu_M = 1.5$):
$$\frac{1}{f_1} = \left(\frac{1}{1.5} - 1\right) \left(\frac{1}{5}\right) = -\frac{1}{3} \times \frac{1}{5} = -\frac{1}{15}\,\text{cm}^{-1} \implies f_1 = -15\,\text{cm}$$स्थिति 2 (कांच में द्रव लेंस: $\mu_L = 2$, $\mu_M = 1.5$):
$$\frac{1}{f_2} = \left(\frac{2}{1.5} - 1\right) \left(\frac{1}{5}\right) = \left(\frac{4}{3} - 1\right) \left(\frac{1}{5}\right) = +\frac{1}{15}\,\text{cm}^{-1} \implies f_2 = +15\,\text{cm}$$अतः $f_1 = -15\,\text{cm}$ तथा $f_2 = +15\,\text{cm}$।
अतः विकल्प 3 सही उत्तर है।
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