Let $(a_n) = \left(\frac{n+1}{n}\right)$ and $(b_n) = (-1)^n$ be sequences of real number, then:
मान लीजिए $(a_n) = \left(\frac{n+1}{n}\right)$ और $(b_n) = (-1)^n$ वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम हैं, तो:
EXPLANATION
Sequences and Series: Arithmetic, Geometric, Harmonic Progressions and Infinite Series Convergence
Convergence analysis:
- For $(a_n) = \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n}$:
$$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right) = 1 + 0 = 1$$
Since the limit exists and is finite, $(a_n)$ converges to 1. - For $(b_n) = (-1)^n$:
The terms alternate: $-1, 1, -1, 1, \dots$. As $n \to \infty$, $(b_n)$ has two subsequential limit points (-1 and +1), so $\lim_{n\to\infty} (-1)^n$ does not exist. Hence $(b_n)$ is oscillatory (not convergent).
Therefore, $(a_n)$ is convergent but $(b_n)$ is not convergent. Option 3 is correct.
अभिसरण विश्लेषण:
- अनुक्रम $(a_n) = 1 + \frac{1}{n}$ के लिए:
$$\lim_{n \to \infty} a_n = 1 + 0 = 1$$
अतः अनुक्रम $(a_n)$ मान 1 पर अभिसारी (convergent) है।
- अनुक्रम $(b_n) = (-1)^n$ के लिए:
इसके पद $-1, 1, -1, 1, \dots$ के रूप में दोलित्र (oscillatory) हैं, अतः इसकी कोई अद्वितीय सीमा नहीं है और यह अभिसारी नहीं है।
अतः $(a_n)$ अभिसारी है लेकिन $(b_n)$ अभिसारी नहीं है (विकल्प 3)।
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