If the random variable $X$ has normal distribution with probability density function $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-(x-1)^2/2}, -\infty < x < \infty$, then the value of $\int_1^\infty f(x) dx$ is:
यदि यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता घनत्व फलन (pdf) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-(x-1)^2/2}, -\infty < x < \infty$ के साथ प्रसामान्य बंटन (normal distribution) है, तो समाकल $\int_1^\infty f(x) dx$ का मान है:
EXPLANATION
Theoretical Continuous Probability Distributions: Uniform, Normal, Exponential, Beta and Gamma Distributions
Comparing the given pdf with the standard normal density form $f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$:
Mean $\mu = 1$
Variance $\sigma^2 = 1 \implies \sigma = 1$
The normal distribution curve is perfectly symmetrical about its mean $\mu = 1$. Therefore, the total area under the probability density curve to the right of the mean is exactly half of the total area (which is 1):
$$\int_1^\infty f(x) dx = P(X \ge 1) = 0.5 = \frac{1}{2}$$Hence, Option 2 is correct.
दिए गए प्रायिकता घनत्व फलन $f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ की तुलना करने पर:
माध्य $\mu = 1$, मानक विचलन $\sigma = 1$
प्रसामान्य बंटन का वक्र अपने माध्य $\mu = 1$ के परितः पूर्णतः सममित (symmetrical) होता है। अतः माध्य से दाईं ओर का कुल क्षेत्रफल संपूर्ण क्षेत्रफल (1) का ठीक आधा होता है:
$$\int_1^\infty f(x) dx = P(X \ge 1) = 0.5 = \frac{1}{2}$$अतः सही उत्तर विकल्प 2 (1/2) है।
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