When observations in two samples are paired and correlated (e.g., before and after measurements on the same $n$ subjects), the null hypothesis $H_0: \mu_D = 0$ is tested using:
जब दो प्रतिदर्शों में प्रेक्षण युग्मित और सहसंबंधित हों (उदा. समान $n$ विषयों पर 'पहले' और 'बाद' के माप), तो निराकरणीय परिकल्पना $H_0: \mu_D = 0$ का परीक्षण किसके द्वारा किया जाता है?
For dependent/paired bivariate samples $(X_i, Y_i)$ of size $n$, the differences $d_i = X_i - Y_i$ are computed. The test statistic is:
$$t = \frac{\bar{d} - 0}{s_d / \sqrt{n}}$$where $\bar{d} = \frac{1}{n}\sum d_i$ and $s_d^2 = \frac{1}{n-1}\sum (d_i - \bar{d})^2$.
This follows Student's t-distribution with $(n - 1)$ degrees of freedom. Hence, Option 2 is correct.
जब प्रेक्षण युग्मित (paired) होते हैं, तो अंतर $d_i = X_i - Y_i$ ज्ञात कर युग्मित t-परीक्षण (Paired t-test) का उपयोग किया जाता है:
$$t = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}}$$यह सांख्यिकी $(n - 1)$ स्वातंत्र्य कोटि (degrees of freedom) के साथ t-बंटन का अनुसरण करती है। अतः विकल्प 2 सही है।
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