The solution of the system of equations:
$$x_1 - 3x_2 + 4x_3 = 3$$
$$2x_1 - 5x_2 + 7x_3 = 6$$
$$3x_1 - 8x_2 + 11x_3 = 11$$
is given by:
समीकरण निकाय:
$$x_1 - 3x_2 + 4x_3 = 3$$
$$2x_1 - 5x_2 + 7x_3 = 6$$
$$3x_1 - 8x_2 + 11x_3 = 11$$
का हल क्या है?
EXPLANATION
Matrices and Determinants: Matrix Operations, Rank, Inverse, Systems of Linear Equations and Eigenvalues
Let the given equations be:
- $x_1 - 3x_2 + 4x_3 = 3$
- $2x_1 - 5x_2 + 7x_3 = 6$
- $3x_1 - 8x_2 + 11x_3 = 11$
Notice the linear relationship among the left-hand sides:
$$\text{LHS}_1 + \text{LHS}_2 = (x_1 + 2x_1) + (-3x_2 - 5x_2) + (4x_3 + 7x_3) = 3x_1 - 8x_2 + 11x_3 = \text{LHS}_3$$
Now compare the corresponding right-hand sides:
$$\text{RHS}_1 + \text{RHS}_2 = 3 + 6 = 9$$
However, the right-hand side of Equation 3 is:
$$\text{RHS}_3 = 11$$
This gives the contradiction $9 = 11$, meaning $\text{rank}(A) = 2 \ne \text{rank}(A|B) = 3$. Therefore, the system of equations is inconsistent and no solution exists. Option 4 is correct.
समीकरणों के विश्लेषण से:
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
लेकिन समीकरण (3) दिया गया है:
$$3x_1 - 8x_2 + 11x_3 = 11$$यह $9 = 11$ का विरोधाभास उत्पन्न करता है, जिसका अर्थ है कि आव्यूह की जाति $\text{rank}(A) = 2$ है जबकि संवर्धित आव्यूह की जाति $\text{rank}(A|B) = 3$ है।
अतः यह समीकरण निकाय असंगत (inconsistent) है और इसका कोई हल मौजूद नहीं है (No solution exists)। विकल्प 4 सही उत्तर है।
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