Suppose that a particle moves on a coordinate line so that its velocity at time t is v(t) = t² - 2t m/s, then the displacement of the particle during the time interval 0 ≤ t ≤ 3 is given by : / मान लीजिए कि एक कण निर्देशांक रेखा पर इस प्रकार गति करता है कि समय t पर उसका वेग v(t) = t² - 2t m/s है, तो समयांतराल 0 ≤ t ≤ 3 के दौरान कण का विस्थापन है:

(1) 0 m Explanation (English): Calculation of displacement via definite integration: Displacement Δ s over the time interval [0, 3] is the definite integral of velocity v(t): Δ s = ₀³ v(t) dt = ₀³ (t² - 2t) dt. Integrating term by term: Δ s = [ (t³/3) - t² ]₀³ = ( (3³/3) - 3² ) - 0 = (9 - 9) - 0 = 0 m. (Note: Total distance traveled would consider |v(t)|, but displacement is the net integral, which is exactly 0 m). Option breakdown: (A) 0 m is the exact net displacement. (B) 1 m is incorrect. (C) (1/2) m is incorrect. (D) 3 m is incorrect. व्याख्या (हिंदी): निश्चित समाकलन द्वारा विस्थापन की गणना: समयांतराल [0, 3] में विस्थापन वेग फलन v(t) का निश्चित समाकलन होता है: Δ s = ₀³ v(t) dt = ₀³ (t² - 2t) dt. समाकलन करने पर: Δ s = [ (t³/3) - t² ]₀³ = ( (27/3) - 9 ) - 0 = (9 - 9) = 0 m. (ध्यान दें: कुल तय की गई दूरी धनात्मक होती है, परंतु कुल विस्थापन शुद्ध समाकलन होता है जो 0 m है)। विकल्पों का विश्लेषण: (A) 0 m सही शुद्ध विस्थापन है। (B) 1 m अमान्य है। (C) (1/2) m अमान्य है। (D) 3 m अमान्य है।

Suppose that a particle moves on a coordinate line so that its...

All Subjects General Agriculture, Economics & Extension Mathematics Statistical Methods & Experimental Designs Computer Applications & Bioinformatics

116

ICAR AIEEA PG Statistical Science 14 July 2023 Shift-1 Paper

MCQ (Single Correct)

If $f$ is continuous on $[a, b]$, then there is at least one number $c$ between $a$ and $b$ such that :

यदि फलन $f$ अंतराल $[a, b]$ पर सतत है, तो $a$ और $b$ के मध्य कम से कम एक ऐसी संख्या $c$ का अस्तित्व होगा कि:

$\int_a^b f(x)dx = f(c)(b - a)$ $\int_a^b f(x)dx = f(c)(b - a)$ $\int_a^b f(x)dx = f(a)(c - b)$ $\int_a^b f(x)dx = f(a)(c - b)$ $\int_a^b f(x)dx = f(b)(c - a)$ $\int_a^b f(x)dx = f(b)(c - a)$ $\int_a^b f(x)dx = f'(c)(b - a)$ $\int_a^b f(x)dx = f'(c)(b - a)$

Mean Value Theorem for Definite Integrals:
If $f$ is continuous on $[a, b]$, then there exists a number $c$ in $[a, b]$ such that:
$\int_a^b f(x)dx = f(c)(b - a)$.
This means that the area under the curve between $a$ and $b$ is equal to the area of a rectangle of base $(b - a)$ and height $f(c)$ (the average value of the function).

Option breakdown:

$\int_a^b f(x)dx = f(c)(b - a)$ is the precise mathematical formula for the Mean Value Theorem for Integrals.
Evaluates at fixed point $a$ with incorrect interval difference $(c - b)$.
Evaluates at fixed point $b$ with interval difference $(c - a)$.
Uses derivative $f'(c)$ instead of function value $f(c)$.

निश्चित समाकलनों के लिए मध्यमान प्रमेय:
यदि फलन $f$ संवृत अंतराल $[a, b]$ पर सतत है, तो अंतराल में कम से कम एक ऐसा बिंदु $c$ विद्यमान होता है कि:
$\int_a^b f(x)dx = f(c)(b - a)$.
इसका ज्यामितीय अर्थ है कि वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल आधार $(b - a)$ तथा ऊँचाई $f(c)$ वाले आयत के क्षेत्रफल के बराबर होता है।

विकल्पों का विश्लेषण:

$\int_a^b f(x)dx = f(c)(b - a)$ समाकलन मध्यमान प्रमेय का सही सूत्र है।
अमान्य है।
अमान्य है।
$f(c)$ के स्थान पर अवकलज $f'(c)$ का उपयोग होने से गलत है।

Explanation not matching this question? क्या व्याख्या इस प्रश्न से मेल नहीं खा रही? Report

117

ICAR AIEEA PG Statistical Science 14 July 2023 Shift-1 Paper

MCQ (Single Correct)

If $f$ and $g$ are integrable on $[a, b]$ and $f(x) \ge g(x)$ for all $x$ in $[a, b]$, then :

यदि $f$ तथा $g$ अंतराल $[a, b]$ पर समाकलनीय हैं तथा $[a, b]$ में सभी $x$ के लिए $f(x) \ge g(x)$ है, तो:

$\int_a^b f(x)dx \ne \int_a^b g(x)dx$ $\int_a^b f(x)dx \ne \int_a^b g(x)dx$ $\int_a^b f(x)dx \ge \int_a^b g(x)dx$ $\int_a^b f(x)dx \ge \int_a^b g(x)dx$ $\int_a^b f(x)dx \le \int_a^b g(x)dx$ $\int_a^b f(x)dx \le \int_a^b g(x)dx$ $\int_a^b f(x)dx$ and $\int_a^b g(x)dx$ does not exist $\int_a^b f(x)dx$ तथा $\int_a^b g(x)dx$ का अस्तित्व नहीं है

Comparison Property of Definite Integrals (Monotonicity):
If $f$ and $g$ are integrable on $[a, b]$ with $a \le b$, and if $f(x) \ge g(x)$ for all $x \in [a, b]$, then:
$f(x) - g(x) \ge 0 \implies \int_a^b [f(x) - g(x)] dx \ge 0 \implies \int_a^b f(x) dx \ge \int_a^b g(x) dx$.
This is the fundamental monotonicity property of Riemann integration.

Option breakdown:

They can be equal if $f(x) = g(x)$ almost everywhere.
$\int_a^b f(x)dx \ge \int_a^b g(x)dx$ is the correct integral comparison inequality.
The inequality is reversed.
Integrals exist since the problem states $f$ and $g$ are integrable.

निश्चित समाकलनों का तुलना गुणधर्म (एकदिष्टता):
यदि $f$ तथा $g$ अंतराल $[a, b]$ ($a \le b$) पर समाकलनीय फलन हैं तथा पूरे अंतराल में $f(x) \ge g(x)$ है, तो:
$f(x) - g(x) \ge 0 \implies \int_a^b f(x)dx \ge \int_a^b g(x)dx$.
यह रीमान समाकलन का मानक एकदिष्टता गुणधर्म है।

विकल्पों का विश्लेषण:

वे समान भी हो सकते हैं यदि $f(x) = g(x)$ हो।
$\int_a^b f(x)dx \ge \int_a^b g(x)dx$ सही तुलनात्मक असमिका है।
असमिका का चिह्न विपरीत है।
दोनों समाकलन अस्तित्व में हैं क्योंकि दोनों फलन समाकलनीय दिए गए हैं।

Explanation not matching this question? क्या व्याख्या इस प्रश्न से मेल नहीं खा रही? Report

118

ICAR AIEEA PG Statistical Science 14 July 2023 Shift-1 Paper

MCQ (Single Correct)

Suppose that a particle moves on a coordinate line so that its velocity at time $t$ is $v(t) = t^2 - 2t\text{ m/s}$, then the displacement of the particle during the time interval $0 \le t \le 3$ is given by :

मान लीजिए कि एक कण निर्देशांक रेखा पर इस प्रकार गति करता है कि समय $t$ पर उसका वेग $v(t) = t^2 - 2t\text{ m/s}$ है, तो समयांतराल $0 \le t \le 3$ के दौरान कण का विस्थापन है:

$0\text{ m}$ $0\text{ m}$ $1\text{ m}$ $1\text{ m}$ $\frac{1}{2}\text{ m}$ $\frac{1}{2}\text{ m}$ $3\text{ m}$ $3\text{ m}$

Calculation of displacement via definite integration:
Displacement $\Delta s$ over the time interval $[0, 3]$ is the definite integral of velocity $v(t)$:
$\Delta s = \int_0^3 v(t) dt = \int_0^3 (t^2 - 2t) dt$.
Integrating term by term:
$\Delta s = \left[ \frac{t^3}{3} - t^2 \right]_0^3 = \left( \frac{3^3}{3} - 3^2 \right) - 0 = (9 - 9) - 0 = 0\text{ m}$.
(Note: Total distance traveled would consider $|v(t)|$, but displacement is the net integral, which is exactly 0 m).

Option breakdown:

$0\text{ m}$ is the exact net displacement.
$1\text{ m}$ is incorrect.
$\frac{1}{2}\text{ m}$ is incorrect.
$3\text{ m}$ is incorrect.

निश्चित समाकलन द्वारा विस्थापन की गणना:
समयांतराल $[0, 3]$ में विस्थापन वेग फलन $v(t)$ का निश्चित समाकलन होता है:
$\Delta s = \int_0^3 v(t) dt = \int_0^3 (t^2 - 2t) dt$.
समाकलन करने पर:
$\Delta s = \left[ \frac{t^3}{3} - t^2 \right]_0^3 = \left( \frac{27}{3} - 9 \right) - 0 = (9 - 9) = 0\text{ m}$.
(ध्यान दें: कुल तय की गई दूरी धनात्मक होती है, परंतु कुल विस्थापन शुद्ध समाकलन होता है जो $0\text{ m}$ है)।

विकल्पों का विश्लेषण:

$0\text{ m}$ सही शुद्ध विस्थापन है।
$1\text{ m}$ अमान्य है।
$\frac{1}{2}\text{ m}$ अमान्य है।
$3\text{ m}$ अमान्य है।

Explanation not matching this question? क्या व्याख्या इस प्रश्न से मेल नहीं खा रही? Report

119

ICAR AIEEA PG Statistical Science 14 July 2023 Shift-1 Paper

MCQ (Single Correct)

For the function $f(x) = \sin x + \cos x$, the point of relative maxima on $[0, 2\pi]$ is given by :

फलन $f(x) = \sin x + \cos x$ के लिए, अंतराल $[0, 2\pi]$ पर सापेक्ष उच्चिष्ठ का बिंदु है:

$\left(\frac{\pi}{4}, \sqrt{2}\right)$ $\left(\frac{\pi}{4}, \sqrt{2}\right)$ $\left(-\frac{\pi}{4}, -\sqrt{2}\right)$ $\left(-\frac{\pi}{4}, -\sqrt{2}\right)$ $\left(-\frac{\pi}{4}, \sqrt{2}\right)$ $\left(-\frac{\pi}{4}, \sqrt{2}\right)$ $\left(\frac{\pi}{4}, -\sqrt{2}\right)$ $\left(\frac{\pi}{4}, -\sqrt{2}\right)$

Finding relative maxima of $f(x) = \sin x + \cos x$ on $[0, 2\pi]$:

First derivative:
$f'(x) = \cos x - \sin x$.
Setting $f'(x) = 0 \implies \sin x = \cos x \implies \tan x = 1$.
In $[0, 2\pi]$, solutions are $x = \frac{\pi}{4}$ and $x = \frac{5\pi}{4}$.
Second derivative test:
$f''(x) = -\sin x - \cos x$.
At $x = \frac{\pi}{4}$:
$f''(\pi/4) = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} \lt 0$, which proves a local maximum.
Function value at $x = \frac{\pi}{4}$:
$f(\pi/4) = \sin(\pi/4) + \cos(\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

Thus, the relative maximum point is $\left(\frac{\pi}{4}, \sqrt{2}\right)$. Option breakdown:

$\left(\frac{\pi}{4}, \sqrt{2}\right)$ is the exact maximum point lying inside $[0, 2\pi]$.
Negative coordinates lie outside the domain $[0, 2\pi]$.
Lies outside the domain $[0, 2\pi]$.
Incorrect negative ordinate $-\sqrt{2}$.

अंतराल $[0, 2\pi]$ में $f(x) = \sin x + \cos x$ का सापेक्ष उच्चिष्ठ बिंदु ज्ञात करना:

प्रथम अवकलज:
$f'(x) = \cos x - \sin x = 0 \implies \tan x = 1$.
अंतराल $[0, 2\pi]$ में क्रांतिक बिंदु $x = \frac{\pi}{4}$ तथा $x = \frac{5\pi}{4}$ हैं।
द्वितीय अवकलज परीक्षण:
$f''(x) = -\sin x - \cos x$.
$x = \frac{\pi}{4}$ पर $f''(\pi/4) = -\sqrt{2} \lt 0$, जो उच्चिष्ठ मान को दर्शाता है।
फलन का मान:
$f(\pi/4) = \sin(\pi/4) + \cos(\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

अतः उच्चिष्ठ बिंदु $\left(\frac{\pi}{4}, \sqrt{2}\right)$ है। विकल्पों का विश्लेषण:

$\left(\frac{\pi}{4}, \sqrt{2}\right)$ दिए गए अंतराल $[0, 2\pi]$ में सही उच्चिष्ठ बिंदु है।
ऋणात्मक $x$ मान अंतराल $[0, 2\pi]$ से बाहर है।
अंतराल से बाहर है।
कोटि का मान ऋणात्मक $-\sqrt{2}$ नहीं हो सकता।

Explanation not matching this question? क्या व्याख्या इस प्रश्न से मेल नहीं खा रही? Report

120

ICAR AIEEA PG Statistical Science 14 July 2023 Shift-1 Paper

MCQ (Single Correct)

Given $\Gamma(n) = \int_0^\infty e^{-x} x^{n-1} dx$, $(n > 0)$, then the value of $\int_0^{\pi/2} \cos^n x \, dx$ is given by :

दिया गया है $\Gamma(n) = \int_0^\infty e^{-x} x^{n-1} dx$, $(n > 0)$, तो $\int_0^{\pi/2} \cos^n x \, dx$ का मान है:

$\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)} \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ $\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)} \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ $\frac{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)} \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ $\frac{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)} \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ $\frac{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)} \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ $\frac{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)} \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ $\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ $\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \frac{\sqrt{\pi}}{2}$

Euler's Beta and Gamma function relation for trigonometric integrals:
The standard formula for definite integrals involving sines and cosines is:
$\int_0^{\pi/2} \sin^p x \cos^q x \, dx = \frac{\Gamma\left(\frac{p+1}{2}\right) \Gamma\left(\frac{q+1}{2}\right)}{2 \Gamma\left(\frac{p+q+2}{2}\right)}$.
Setting $p = 0$ and $q = n$:
$\int_0^{\pi/2} \cos^n x \, dx = \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) \Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{2 \Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)}$.
Since $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$:
$\int_0^{\pi/2} \cos^n x \, dx = \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)} \frac{\sqrt{\pi}}{2}$.

Option breakdown:

$\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamma(\frac{n+2}{2})} \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ is the standard reduction formula in terms of the Gamma function.
Inverts the ratio of gamma arguments.
Has argument $n/2$ instead of $(n+1)/2$ in the numerator.
Has argument $n/2$ in the denominator instead of $(n+2)/2$.

त्रिकोणमितीय समाकलनों के लिए बीटा और गामा फलन संबंध:
मानक समाकलन सूत्र:
$\int_0^{\pi/2} \sin^p x \cos^q x \, dx = \frac{\Gamma\left(\frac{p+1}{2}\right) \Gamma\left(\frac{q+1}{2}\right)}{2 \Gamma\left(\frac{p+q+2}{2}\right)}$.
यहाँ $p = 0$ तथा $q = n$ रखने पर:
$\int_0^{\pi/2} \cos^n x \, dx = \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) \Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{2 \Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)}$.
चूँकि $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$ होता है:
$\int_0^{\pi/2} \cos^n x \, dx = \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)} \frac{\sqrt{\pi}}{2}$.

विकल्पों का विश्लेषण:

$\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamma(\frac{n+2}{2})} \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ गामा फलन का सही मानक सूत्र है।
गामा पदों का अनुपात उल्टा है।
अंश में $(n+1)/2$ के स्थान पर $n/2$ है।
हर में $(n+2)/2$ के स्थान पर $n/2$ है।