The general solution of the differential equation dy/dx = x2/y2 is :
1. x2 + y2 = c
2. x2 - y2 = c
3. x3 + y3 = c
4. x3 - y3 = c
Choose the correct answer from the options given below :
अवकल समीकरण dy/dx = x2/y2 का व्यापक हल क्या है?
1. x2 + y2 = c
2. x2 - y2 = c
3. x3 + y3 = c
4. x3 - y3 = c
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए :
EXPLANATION
Engineering Mathematics: Linear/Quadratic Equations, Differential Calculus & Differential Equations
Solution by Separation of Variables:
- Given differential equation:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{y^2}$$ - Separating the variables:
$$y^2 dy = x^2 dx$$ - Integrating both sides:
$$\int y^2 dy = \int x^2 dx$$
$$\frac{y^3}{3} = \frac{x^3}{3} + C_1$$
Multiplying by $3$:
$$y^3 = x^3 + 3C_1 \implies x^3 - y^3 = c$$
where $c = -3C_1$.
Therefore, the general solution is $x^3 - y^3 = c$ (Option 4).
चरों के पृथक्करण विधि द्वारा अवकल समीकरण का हल:
- दिया गया समीकरण:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{y^2}$$ - चरों को अलग करने पर:
$$y^2 dy = x^2 dx$$ - दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$$\int y^2 dy = \int x^2 dx$$
$$\frac{y^3}{3} = \frac{x^3}{3} + C_1$$
3 से गुणा करने और पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$$x^3 - y^3 = c$$
अतः व्यापक हल $x^3 - y^3 = c$ है (विकल्प 4)।
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