Given below are two statements, one is labelled as Assertion (A) and other one labelled as Reason (R).
In light of the above statements, choose the correct answer from the options given below.
1. Both (A) and (R) are true and (R) is the correct explanation of (A).
2. Both (A) and (R) are true but (R) is NOT the correct explanation of (A).
3. (A) is true but (R) is false.
4. (A) is false but (R) is true.
नीचे दो कथन दिए गए हैं, एक को अभिकथन (A) और दूसरे को कारण (R) के रूप में लेबल किया गया है:
उपर्युक्त कथनों के आलोक में, नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए:
1. (A) और (R) दोनों सत्य हैं और (R), (A) की सही व्याख्या है।
2. (A) और (R) दोनों सत्य हैं लेकिन (R), (A) की सही व्याख्या नहीं है।
3. (A) सत्य है लेकिन (R) असत्य है।
4. (A) असत्य है लेकिन (R) सत्य है।
Axiomatic Probability Analysis:
- Assertion (A) is True: By Kolmogorov's Second Axiom of Probability, the probability of the entire sample space $S$ (a sure or certain event) is $P(S) = 1$.
- Reason (R) is True: By Kolmogorov's First Axiom, for any arbitrary event $E$, $0 \le P(E) \le 1$.
- Causal Explanation: The fact that all probabilities are bounded in $[0, 1]$ (Reason R) establishes the general scale of probability, but the reason $P(\text{sure event}) = 1$ is that the sure event encompasses all favorable outcomes of the sample space ($n(E) = n(S) \implies P(E) = n(S)/n(S) = 1$). Thus, (R) is a valid independent axiom/property but does not provide the causal reason for (A).
प्रायिकता के अभिगृहीत (Axioms of Probability):
- अभिकथन (A) सत्य है: निश्चित घटना (Sure event) में प्रतिदर्श समष्टि के सभी परिणाम शामिल होते हैं, अतः उसकी प्रायिकता $P(S) = 1$ होती है।
- कारण (R) सत्य है: किसी भी घटना की प्रायिकता सदैव 0 और 1 के बीच स्थित होती है ($0 \le P(E) \le 1$)।
- व्याख्या: कारण (R) प्रायिकता की सीमा को बताता है, किन्तु यह इस बात का कारण नहीं है कि निश्चित घटना का मान 1 ही क्यों है (निश्चित घटना में अनुकूल परिणाम कुल परिणामों के बराबर होते हैं)।