Let the m.g.f of a random variable X is of the form Mx(t)= exp{3(e^t -1)}. What is the value of kurtosis coefficient beta_2 ?
मान लीजिए किसी यादृच्छिक चर X का आघूर्ण जनक फलन Mx(t) = exp{3(e^t - 1)} के रूप में है। ककुदता गुणांक beta_2 (Kurtosis coefficient) का मान क्या होगा?
EXPLANATION
Probability Theory & Random Variables
Mathematical derivation of kurtosis:
- The given MGF is $M_X(t) = \exp\{\lambda(e^t - 1)\}$ with parameter $\lambda = 3$.
- For a Poisson distribution, central moments are $\mu_2 = \lambda$ and $\mu_4 = \lambda + 3\lambda^2$.
- Incorrect: $1/3$ is $\gamma_2 = \beta_2 - 3$ (excess kurtosis).
- Incorrect: $\sqrt{1/3}$ is the skewness $\gamma_1 = 1/\sqrt{\lambda}$.
- Incorrect: $\sqrt{10/3}$ is the square root of $\beta_2$.
- Correct: The Pearson coefficient of kurtosis $\beta_2$ is:
$$\beta_2 = \frac{\mu_4}{\mu_2^2} = \frac{\lambda + 3\lambda^2}{\lambda^2} = 3 + \frac{1}{\lambda} = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$$
ककुदता (Kurtosis) गुणांक की गणना:
- दिया गया mgf $M_X(t) = \exp\{3(e^t - 1)\}$ प्राचल $\lambda = 3$ वाले पॉइसन बंटन को दर्शाता है।
- पॉइसन बंटन के केंद्रीय आघूर्ण $\mu_2 = \lambda = 3$ तथा $\mu_4 = \lambda + 3\lambda^2 = 3 + 3(9) = 30$ होते हैं।
- गलत: $1/3$ आधिक्य ककुदता (Excess kurtosis, $\gamma_2 = \beta_2 - 3$) है।
- गलत: $\sqrt{1/3}$ विषमता गुणांक $\gamma_1$ है।
- गलत: यह $\beta_2$ का वर्गमूल है।
- सही: कार्ल पियर्सन का ककुदता गुणांक $\beta_2$ होता है:
$$\beta_2 = \frac{\mu_4}{\mu_2^2} = 3 + \frac{1}{\lambda} = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$$
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