Solve the differential equation $3e^x \tan y\, dx + (1 - e^x)\sec^2 y\, dy = 0$:
अवकल समीकरण $3e^x \tan y\, dx + (1 - e^x)\sec^2 y\, dy = 0$ का हल ज्ञात कीजिए:
EXPLANATION
Ordinary Differential Equations
Separating the variables:
$$(1 - e^x)\sec^2 y\, dy = -3e^x \tan y\, dx$$ $$\frac{\sec^2 y}{\tan y}\, dy = \frac{-3e^x}{1 - e^x}\, dx = \frac{3e^x}{e^x - 1}\, dx$$Integrating both sides:
$$\int \frac{\sec^2 y}{\tan y}\, dy = 3 \int \frac{e^x}{e^x - 1}\, dx$$ $$\ln |\tan y| = 3\ln |e^x - 1| + \ln c = \ln |c(e^x - 1)^3|$$ $$\tan y = c(e^x - 1)^3 = -c(1 - e^x)^3$$ $$\frac{\tan y}{(1 - e^x)^3} = c'$$Hence, Option 2 is correct.
चरों के पृथक्करण (separation of variables) द्वारा:
$$\frac{\sec^2 y}{\tan y}\, dy = \frac{3e^x}{e^x - 1}\, dx$$दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$$\ln |\tan y| = 3\ln |e^x - 1| + \ln c$$ $$\tan y = c(1 - e^x)^3 \implies \frac{\tan y}{(1 - e^x)^3} = c$$अतः विकल्प 2 सही उत्तर है।
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