By definition, the graph of a continuous function $f$ has a vertical tangent line at $x = c$ if the two-sided limit of the difference quotient (or derivative) is infinite with the same sign:
$\lim_{x \to c} \frac{f(x) - f(c)}{x - c} = +\infty$ (or $-\infty$).
This requires both one-sided limits to agree and tend to $+\infty$ (or both to $-\infty$).
When one side is $+\infty$ and the other is $-\infty$, the graph has a cusp (point of non-differentiability without a unique tangent line), not a vertical tangent line.
Detailed analysis of options:
- $\lim_{x \to c^-} f'(x) = +\infty$ and $\lim_{x \to c^+} f'(x) = +\infty$ is the definition of a vertical tangent.
- Opposite infinite limits define a cusp (e.g., $y = x^{2/3}$), not a tangent line.
- Opposite infinite limits define a cusp, not a tangent line.
- One finite and one infinite limit does not produce a vertical tangent.
परिभाषा के अनुसार, बिंदु $P(c, f(c))$ पर संतत फलन $f$ के आलेख की ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखा (vertical tangent) तब होती है जब दोनों तरफ से अवकलज की सीमा समान चिन्ह के साथ अनंत की ओर प्रवृत्त हो:
$\lim_{x \to c^-} f'(x) = +\infty$ तथा $\lim_{x \to c^+} f'(x) = +\infty$ (या दोनों $-\infty$ हों)।
यदि दोनों सीमाओं के चिन्ह विपरीत हों (एक $+\infty$ और दूसरा $-\infty$), तो वह स्पर्श रेखा न होकर उभयाग्र (cusp) कहलाता है।
विकल्पों का विस्तृत विश्लेषण:
- $\lim_{x \to c^-} f'(x) = +\infty$ तथा $\lim_{x \to c^+} f'(x) = +\infty$ ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखा की सही परिभाषा है।
- विपरीत चिन्ह होने पर यह उभयाग्र (cusp) बनता है, स्पर्श रेखा नहीं।
- विपरीत चिन्ह होने पर उभयाग्र बनता है।
- गलत है।