If $z = 3x^2 y - x \sin xy$, then:
यदि $z = 3x^2 y - x \sin xy$ हो, तो:
According to Clairaut's (or Schwarz's) Theorem on mixed partial derivatives:
If a function $z = f(x, y)$ and its partial derivatives $f_x, f_y, f_{xy}, f_{yx}$ are continuous in an open region, then the mixed second-order partial derivatives are identical:
Since $z = 3x^2 y - x \sin xy$ is composed of polynomial and trigonometric functions, it is infinitely differentiable everywhere on $\mathbb{R}^2$.
Therefore, Option 3 is correct.
मिश्रित आंशिक अवकलजों पर क्लेरॉट (Clairaut) / श्वार्ज़ (Schwarz) के प्रमेय के अनुसार:
यदि फलन $z$ और उसके आंशिक अवकलज सतत हैं, तो क्रम बदलने पर भी द्वितीय कोटि के आंशिक अवकलज समान होते हैं:
चूंकि $z = 3x^2 y - x \sin xy$ एक सतत एवं अवकलनीय फलन है, अतः दोनों मिश्रित अवकलज समान होंगे। विकल्प 3 सही है।
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