The solution of the differential equation (d³ y/dx³) + (d² y/dx²) + 4(dy/dx) + 4y = 0 is given by : / अवकल समीकरण (d³ y/dx³) + (d² y/dx²) + 4(dy/dx) + 4y = 0 का हल है:

y = C₁ e^{-x} + C₂ 2x + C₃ 2x

y = C₁ e^x + C₂ 2x + C₃ 2x

y = C₁ e^{-x} + C₂ 2x + C₃ 2x

y = C₁ e^{2x} + C₂ 2x + C₃ 2x

y = C₁ e^{-2x} + C₂ 2x + C₃ 2x

The solution of the differential equation (d³ y/dx³) + (d² y/dx²) + 4(dy/dx) + 4y = 0 is given by : / अवकल समीकरण (d³ y/dx³) + (d² y/dx²) + 4(dy/dx) + 4y = 0 का हल है:

(2) y = C₁ e^{-x} + C₂ 2x + C₃ 2x Explanation (English): Solving higher-order linear ODE: Auxiliary equation: m³ + m² + 4m + 4 = 0. Factoring by grouping: m²(m + 1) + 4(m + 1) = 0 (m + 1)(m² + 4) = 0. Roots: m₁ = -1, and m² = -4 m{2,3} = ± 2i. The complementary function for real root -1 is C₁ e^{-x}. The complementary function for imaginary roots ± 2i is C₂ 2x + C₃ 2x. General solution: y = C₁ e^{-x} + C₂ 2x + C₃ 2x. Option breakdown: (A) Uses e^x instead of e^{-x}. (B) y = C₁ e^{-x} + C₂ 2x + C₃ 2x matches the auxiliary roots -1, ± 2i. (C) Uses e^{2x} instead of e^{-x}. (D) Uses e^{-2x} instead of e^{-x}. व्याख्या (हिंदी): उच्च कोटि के रैखिक अवकल समीकरण का हल: सहायक समीकरण: m³ + m² + 4m + 4 = 0. समूहीकरण द्वारा गुणनखंड करने पर: m²(m + 1) + 4(m + 1) = 0 (m + 1)(m² + 4) = 0. मूल: m = -1 तथा m = ± 2i. वास्तविक मूल -1 के लिए पद C₁ e^{-x} होता है। काल्पनिक मूल ± 2i के लिए पद C₂ 2x + C₃ 2x होता है। अतः व्यापक हल: y = C₁ e^{-x} + C₂ 2x + C₃ 2x. विकल्पों का विश्लेषण: (A) e^{-x} के स्थान पर e^x होने से गलत है। (B) y = C₁ e^{-x} + C₂ 2x + C₃ 2x सही व्यापक हल है। (C) e^{2x} होने से गलत है। (D) e^{-2x} होने से गलत है।

The solution of the differential equation (d³ y/dx³) + (d²...

Q.11

ICAR AIEEA PG Statistical Science 14 July 2023 Shift-1 Paper (Q.108)

MCQ (Single Correct) +4 −1

The solution of the differential equation $\frac{d^3 y}{dx^3} + \frac{d^2 y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 4y = 0$ is given by :

अवकल समीकरण $\frac{d^3 y}{dx^3} + \frac{d^2 y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 4y = 0$ का हल है:

$y = C_1 e^x + C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x$ $y = C_1 e^x + C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x$ $y = C_1 e^{-x} + C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x$ $y = C_1 e^{-x} + C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x$ $y = C_1 e^{2x} + C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x$ $y = C_1 e^{2x} + C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x$ $y = C_1 e^{-2x} + C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x$ $y = C_1 e^{-2x} + C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x$

Solving higher-order linear ODE: Auxiliary equation: $m^3 + m^2 + 4m + 4 = 0$. Factoring by grouping: $m^2(m + 1) + 4(m + 1) = 0 \implies (m + 1)(m^2 + 4) = 0$. Roots: $m_1 = -1$, and $m^2 = -4 \implies m_{2,3} = \pm 2i$. The complementary function for real root $-1$ is $C_1 e^{-x}$. The complementary function for imaginary roots $\pm 2i$ is $C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x$. General solution: $y = C_1 e^{-x} + C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x$. Option breakdown:

Uses $e^x$ instead of $e^{-x}$.
$y = C_1 e^{-x} + C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x$ matches the auxiliary roots $-1, \pm 2i$.
Uses $e^{2x}$ instead of $e^{-x}$.
Uses $e^{-2x}$ instead of $e^{-x}$.

उच्च कोटि के रैखिक अवकल समीकरण का हल:
सहायक समीकरण:
$m^3 + m^2 + 4m + 4 = 0$.
समूहीकरण द्वारा गुणनखंड करने पर:
$m^2(m + 1) + 4(m + 1) = 0 \implies (m + 1)(m^2 + 4) = 0$.
मूल:
$m = -1$ तथा $m = \pm 2i$.
वास्तविक मूल $-1$ के लिए पद $C_1 e^{-x}$ होता है।
काल्पनिक मूल $\pm 2i$ के लिए पद $C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x$ होता है।

अतः व्यापक हल: $y = C_1 e^{-x} + C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x$. विकल्पों का विश्लेषण: