The solution of the differential equation $\frac{d^3 y}{dx^3} + \frac{d^2 y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 4y = 0$ is given by :
अवकल समीकरण $\frac{d^3 y}{dx^3} + \frac{d^2 y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 4y = 0$ का हल है:
Solving higher-order linear ODE:
Auxiliary equation:
$m^3 + m^2 + 4m + 4 = 0$.
Factoring by grouping:
$m^2(m + 1) + 4(m + 1) = 0 \implies (m + 1)(m^2 + 4) = 0$.
Roots:
$m_1 = -1$, and $m^2 = -4 \implies m_{2,3} = \pm 2i$.
The complementary function for real root $-1$ is $C_1 e^{-x}$.
The complementary function for imaginary roots $\pm 2i$ is $C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x$.
General solution:
$y = C_1 e^{-x} + C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x$.
Option breakdown:
- Uses $e^x$ instead of $e^{-x}$.
- $y = C_1 e^{-x} + C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x$ matches the auxiliary roots $-1, \pm 2i$.
- Uses $e^{2x}$ instead of $e^{-x}$.
- Uses $e^{-2x}$ instead of $e^{-x}$.
उच्च कोटि के रैखिक अवकल समीकरण का हल:
सहायक समीकरण:
$m^3 + m^2 + 4m + 4 = 0$.
समूहीकरण द्वारा गुणनखंड करने पर:
$m^2(m + 1) + 4(m + 1) = 0 \implies (m + 1)(m^2 + 4) = 0$.
मूल:
$m = -1$ तथा $m = \pm 2i$.
वास्तविक मूल $-1$ के लिए पद $C_1 e^{-x}$ होता है।
काल्पनिक मूल $\pm 2i$ के लिए पद $C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x$ होता है।
अतः व्यापक हल:
$y = C_1 e^{-x} + C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x$.
विकल्पों का विश्लेषण:
- $e^{-x}$ के स्थान पर $e^x$ होने से गलत है।
- $y = C_1 e^{-x} + C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x$ सही व्यापक हल है।
- $e^{2x}$ होने से गलत है।
- $e^{-2x}$ होने से गलत है।
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