Suppose that a particle moves on a co-ordinate line so that its velocity at time $t$ is $v(t) = \sqrt{t} - 2$, find the displacement of the particle during the time interval $0 \le t \le 3$:
मान लीजिए कि कोई कण एक निर्देशांक रेखा पर इस प्रकार गति करता है कि समय $t$ पर उसका वेग $v(t) = \sqrt{t} - 2$ है। समय अंतराल $0 \le t \le 3$ के दौरान कण का विस्थापन ज्ञात कीजिए:
EXPLANATION
Integral Calculus: Definite and Indefinite Integrals, Reduction Formulas and Areas Under Curves
Displacement is the definite integral of velocity over the time interval $[0, 3]$:
$$\text{Displacement} = \int_0^3 v(t)\, dt = \int_0^3 (t^{1/2} - 2)\, dt$$ $$= \left[ \frac{t^{3/2}}{3/2} - 2t \right]_0^3 = \left[ \frac{2}{3} t\sqrt{t} - 2t \right]_0^3$$ $$= \left( \frac{2}{3}(3\sqrt{3}) - 2(3) \right) - 0 = 2\sqrt{3} - 6$$Hence, Option 3 ($2\sqrt{3} - 6$) is correct.
विस्थापन वेग के निश्चित समाकल द्वारा दिया जाता है:
$$\text{विस्थापन} = \int_0^3 v(t)\, dt = \int_0^3 (\sqrt{t} - 2)\, dt$$ $$= \left[ \frac{2}{3}t^{3/2} - 2t \right]_0^3 = \frac{2}{3}(3\sqrt{3}) - 2(3) = 2\sqrt{3} - 6$$अतः विकल्प 3 सही उत्तर है।
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