Evaluate $\iint_R (4xy - y^2)\, dx\, dy$, where $R$ is the rectangle bounded by $x = 1, x = 2, y = 0$ and $y = 3$:
$\iint_R (4xy - y^2)\, dx\, dy$ का मूल्यांकन कीजिए, जहां $R$ आयत $x = 1, x = 2, y = 0$ और $y = 3$ से परिबद्ध है:
EXPLANATION
Integral Calculus: Definite and Indefinite Integrals, Reduction Formulas and Areas Under Curves
Evaluate the double integral over the rectangular region $R = [1, 2] \times [0, 3]$:
$$I = \int_{y=0}^3 \int_{x=1}^2 (4xy - y^2)\, dx\, dy$$- Inner integral with respect to $x$:
$$\int_1^2 (4xy - y^2)\, dx = \left[ 2x^2 y - y^2 x \right]_{x=1}^2$$
$$= (2(4)y - 2y^2) - (2(1)y - y^2) = (8y - 2y^2) - (2y - y^2) = 6y - y^2$$ - Outer integral with respect to $y$:
$$\int_0^3 (6y - y^2)\, dy = \left[ 3y^2 - \frac{y^3}{3} \right]_0^3 = 3(9) - \frac{27}{3} = 27 - 9 = 18$$
Hence, Option 1 (18) is correct.
द्विसमाकल (Double integral) का मूल्यांकन:
- $x$ के सापेक्ष आंतरिक समाकलन:
$$\int_1^2 (4xy - y^2)\, dx = \left[ 2x^2 y - xy^2 \right]_1^2 = (8y - 2y^2) - (2y - y^2) = 6y - y^2$$ - $y$ के सापेक्ष बाह्य समाकलन:
$$\int_0^3 (6y - y^2)\, dy = \left[ 3y^2 - \frac{y^3}{3} \right]_0^3 = 3(9) - \frac{27}{3} = 27 - 9 = 18$$
अतः सही उत्तर 18 (विकल्प 1) है।
Explanation not matching this question?
क्या व्याख्या इस प्रश्न से मेल नहीं खा रही?
Report
Want to practice this paper in exam conditions?
क्या आप परीक्षा जैसे माहौल में अभ्यास करना चाहते हैं?
Test yourself in 5-question batch format with timer and hidden answers.
5-प्रश्नों के बैच फॉर्मैट, टाइमर और छिपे उत्तरों के साथ खुद को परखें।
Start Practice Mode →
प्रैक्टिस टेस्ट मोड शुरू करें →