The value of ⁻¹(2x)\,dx is given by : / ⁻¹(2x)\,dx का मान होगा :

(1) x⁻¹(2x) - (1/2){1-4x²} + C Explanation (English): Using integration by parts: u\,dv = uv - v\,du. Let u = ⁻¹(2x) and dv = dx. Then du = -{2}{{1-(2x)²}}dx = -{2}{{1-4x²}}dx, and v = x. Thus: ⁻¹(2x)\,dx = x⁻¹(2x) - x(-{2}{{1-4x²}})dx = x⁻¹(2x) + {2x}{{1-4x²}}dx. To evaluate the remaining integral, let w = 1 - 4x², so dw = -8x\,dx 2x\,dx = -(1/4)dw. Then {2x}{{1-4x²}}dx = -(1/4) w^{-1/2}dw = -(1/4)(2w^{1/2}) = -(1/2){1-4x²}. Combining terms gives: ⁻¹(2x)\,dx = x⁻¹(2x) - (1/2){1-4x²} + C. Detailed analysis of options: (A) x⁻¹(2x) - (1/2){1-4x²} + C is the correct result. (B) Uses ⁻¹ instead of ⁻¹. (C) Has a plus sign instead of minus sign. (D) Uses ⁻¹ and plus sign. व्याख्या (हिंदी): खंडशः समाकलन (integration by parts) का प्रयोग करने पर: u\,dv = uv - v\,du. माना u = ⁻¹(2x) तथा dv = dx. तब du = -{2}{{1-4x²}}dx और v = x. अतः: ⁻¹(2x)\,dx = x⁻¹(2x) - x(-{2}{{1-4x²}})dx = x⁻¹(2x) + {2x}{{1-4x²}}dx. शेष समाकल हेतु, माना w = 1 - 4x² dw = -8x\,dx 2x\,dx = -(1/4)dw. अतः {2x}{{1-4x²}}dx = -(1/4)(2{w}) = -(1/2){1-4x²}. अंतिम मान: x⁻¹(2x) - (1/2){1-4x²} + C. विकल्पों का विस्तृत विश्लेषण: (A) x⁻¹(2x) - (1/2){1-4x²} + C सही उत्तर है। (B) ⁻¹ के स्थान पर ⁻¹ लिखा है। (C) ऋण चिन्ह के स्थान पर धन चिन्ह लिखा है। (D) गलत है।

⁻¹(2x)\,dx का मान होगा : - हल प्रश्न

Q.6

ICAR AIEEA PG Statistical Sciences 09 July 2023 (Shift 1) Paper (Q.103)

MCQ (Single Correct) +4 −1

The value of $\int \cos^{-1}(2x)\,dx$ is given by :

$\int \cos^{-1}(2x)\,dx$ का मान होगा :

$x\cos^{-1}(2x) - \frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2} + C$ $x\cos^{-1}(2x) - \frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2} + C$ Correct $x\sin^{-1}(2x) - \frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2} + C$ $x\sin^{-1}(2x) - \frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2} + C$ $x\cos^{-1}(2x) + \frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2} + C$ $x\cos^{-1}(2x) + \frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2} + C$ $x\sin^{-1}(2x) + \frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2} + C$ $x\sin^{-1}(2x) + \frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2} + C$

Using integration by parts: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.
Let $u = \cos^{-1}(2x)$ and $dv = dx$.
Then $du = -\frac{2}{\sqrt{1-(2x)^2}}dx = -\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}dx$, and $v = x$.

Thus: $\int \cos^{-1}(2x)\,dx = x\cos^{-1}(2x) - \int x\left(-\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}\right)dx = x\cos^{-1}(2x) + \int \frac{2x}{\sqrt{1-4x^2}}dx$. To evaluate the remaining integral, let $w = 1 - 4x^2$, so $dw = -8x\,dx \implies 2x\,dx = -\frac{1}{4}dw$. Then $\int \frac{2x}{\sqrt{1-4x^2}}dx = -\frac{1}{4}\int w^{-1/2}dw = -\frac{1}{4}(2w^{1/2}) = -\frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2}$. Combining terms gives: $\int \cos^{-1}(2x)\,dx = x\cos^{-1}(2x) - \frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2} + C$. Detailed analysis of options:

$x\cos^{-1}(2x) - \frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2} + C$ is the correct result.
Uses $\sin^{-1}$ instead of $\cos^{-1}$.
Has a plus sign instead of minus sign.
Uses $\sin^{-1}$ and plus sign.

खंडशः समाकलन (integration by parts) का प्रयोग करने पर: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.
माना $u = \cos^{-1}(2x)$ तथा $dv = dx$.
तब $du = -\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}dx$ और $v = x$.

अतः: $\int \cos^{-1}(2x)\,dx = x\cos^{-1}(2x) - \int x\left(-\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}\right)dx = x\cos^{-1}(2x) + \int \frac{2x}{\sqrt{1-4x^2}}dx$. शेष समाकल हेतु, माना $w = 1 - 4x^2 \implies dw = -8x\,dx \implies 2x\,dx = -\frac{1}{4}dw$. अतः $\int \frac{2x}{\sqrt{1-4x^2}}dx = -\frac{1}{4}(2\sqrt{w}) = -\frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2}$. अंतिम मान: $x\cos^{-1}(2x) - \frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2} + C$. विकल्पों का विस्तृत विश्लेषण:

$x\cos^{-1}(2x) - \frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2} + C$ सही उत्तर है।
$\cos^{-1}$ के स्थान पर $\sin^{-1}$ लिखा है।
ऋण चिन्ह के स्थान पर धन चिन्ह लिखा है।
गलत है।

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