Since the limits of integration are independent constants, the double integral factors into the product of two single integrals:
$\iint_R y^2 x \,dy\,dx = \left(\int_{-3}^2 x\,dx\right) \left(\int_0^1 y^2\,dy\right)$.
Evaluate the first integral:
$\int_{-3}^2 x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_{-3}^2 = \frac{4 - 9}{2} = -\frac{5}{2}$.
Evaluate the second integral:
$\int_0^1 y^2\,dy = \left[\frac{y^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3}$.
Multiplying them:
$-\frac{5}{2} \times \frac{1}{3} = -\frac{5}{6}$.
Detailed analysis of options:
- $-1/6$ is incorrect.
- $-1/2$ is incorrect.
- $-5/6$ is correct ($(-5/2) \times (1/3) = -5/6$).
- $5/6$ has the wrong sign.
चूँकि समाकलन की सीमाएँ स्वतंत्र स्थिरांक हैं, अतः द्विक समाकल (double integral) को दो एकल समाकलों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है:
$\iint_R y^2 x \,dy\,dx = \left(\int_{-3}^2 x\,dx\right) \left(\int_0^1 y^2\,dy\right)$.
पहले समाकल का मान:
$\int_{-3}^2 x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_{-3}^2 = \frac{4 - 9}{2} = -\frac{5}{2}$.
दूसरे समाकल का मान:
$\int_0^1 y^2\,dy = \left[\frac{y^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3}$.
दोनों का गुणनफल:
$-\frac{5}{2} \times \frac{1}{3} = -\frac{5}{6}$.
विकल्पों का विस्तृत विश्लेषण:
- $-1/6$ गलत है।
- $-1/2$ गलत है।
- $-5/6$ सही उत्तर है।
- $5/6$ में चिन्ह गलत है।