Using the additive property of definite integrals, split the integral at $x = 2$:
$\int_0^6 f(x)\,dx = \int_0^2 x^2\,dx + \int_2^6 (3x - 2)\,dx$.
Evaluate the first integral:
$\int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$.
Evaluate the second integral:
$\int_2^6 (3x - 2)\,dx = \left[\frac{3x^2}{2} - 2x\right]_2^6 = \left(\frac{3(36)}{2} - 2(6)\right) - \left(\frac{3(4)}{2} - 2(2)\right) = (54 - 12) - (6 - 4) = 42 - 2 = 40$.
Adding both parts:
$\frac{8}{3} + 40 = \frac{8 + 120}{3} = \frac{128}{3}$.
Detailed analysis of options:
- is incorrect.
- 0 is incorrect.
- $1/3$ is incorrect.
- $\frac{128}{3}$ is the exact and correct value.
निश्चित समाकल के योज्य गुणधर्म (additive property) का प्रयोग करके समाकल को $x = 2$ पर विभाजित करने पर:
$\int_0^6 f(x)\,dx = \int_0^2 x^2\,dx + \int_2^6 (3x - 2)\,dx$.
पहला भाग:
$\int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3}$.
दूसरा भाग:
$\int_2^6 (3x - 2)\,dx = \left[\frac{3x^2}{2} - 2x\right]_2^6 = (54 - 12) - (6 - 4) = 42 - 2 = 40$.
दोनों भागों को जोड़ने पर:
$\frac{8}{3} + 40 = \frac{8 + 120}{3} = \frac{128}{3}$.
विकल्पों का विस्तृत विश्लेषण:
- गलत है।
- 0 गलत है।
- $1/3$ गलत है।
- $\frac{128}{3}$ सही उत्तर है।