Let B = [[5, -9, 6], [0, 2, 3], [0, 0, 7]], then its reduced echelon form is :
मान लीजिए B = [[5, -9, 6], [0, 2, 3], [0, 0, 7]], तो इसका समानीकृत इशेलॉन रूप (Reduced echelon form) क्या होगा?
EXPLANATION
Matrices and Determinants: Matrix Operations, Rank, Inverse, Systems of Linear Equations and Eigenvalues
Row reduction of matrix B to RREF:
Given upper triangular matrix:
Determinant is $\det(B) = 5 \times 2 \times 7 = 70 \ne 0$. Because $\det(B) \ne 0$, matrix $B$ is non-singular of full rank 3.
By Gauss-Jordan elimination:
- Divide each row by its pivot: leading entries become 1.
- Eliminate entries above pivots: all off-diagonal entries become 0.
Every non-singular square matrix has a unique Reduced Row Echelon Form equal to the identity matrix $I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$. - Correct: Identity matrix $I_3$.
- Incorrect: Permuted identity matrix.
- Incorrect: Leading entry in row 1 must be 1, not 5.
- Incorrect: Off-diagonal elements above pivots must be zero in reduced echelon form.
समानीकृत इशेलॉन रूप (RREF) की गणना:
दिया गया ऊपरी त्रिभुजीय आव्यूह:
सारणिक $\det(B) = 5 \times 2 \times 7 = 70 \ne 0$ होने के कारण यह एक व्युत्क्रमणीय (Non-singular) आव्यूह है जिसकी जाति 3 है।
गॉस-जॉर्डन विलोपन विधि द्वारा:
- प्रत्येक पंक्ति के मुख्य अवयव को 1 बनाया जाता है।
- मुख्य अवयवों के ऊपर और नीचे के सभी अवयवों को शून्य बनाया जाता है।
अतः किसी भी व्युत्क्रमणीय वर्ग आव्यूह का समानीकृत इशेलॉन रूप सदैव तत्समक आव्यूह (Identity matrix $I_3$) होता है:
$$I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$
- सही: तत्समक आव्यूह $I_3$ सही उत्तर है।
- गलत: यह पंक्तियों के क्रमपरिवर्तन से युक्त है।
- गलत: RREF में मुख्य प्रविष्टि 1 होनी चाहिए।
- गलत: इसमें $-9$ अवयव शून्य नहीं किया गया है।
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