Let $\mathbb{R}^n = V$ be a vector space over the field of real numbers, then
which of the following is a subspace ?
माना कि वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र पर $\mathbb{R}^n = V$ एक सदिश समष्टि (vector space) है, तो निम्न में से कौन सा एक उपसमष्टि (subspace) है?
EXPLANATION
Matrices and Determinants: Matrix Operations, Rank, Inverse, Systems of Linear Equations and Eigenvalues
A subset $W$ of a vector space $V$ is a subspace if and only if:
- The zero vector $\mathbf{0} \in W$.
- It is closed under vector addition: $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W \implies \mathbf{u} + \mathbf{v} \in W$.
- It is closed under scalar multiplication: $c \in \mathbb{R}, \mathbf{u} \in W \implies c\mathbf{u} \in W$.
For $W = \{(a_1, \dots, a_n) \mid \sum a_i = 0\}$:
Condition: $\sum 0 = 0 \implies \mathbf{0} \in W$.
Condition: If $\sum u_i = 0$ and $\sum v_i = 0$, then $\sum (u_i + v_i) = \sum u_i + \sum v_i = 0$.
Condition: $\sum c u_i = c \sum u_i = 0$.
Hence, it is a valid linear subspace.
Detailed analysis of options:
- $W = \{(a_1, \dots, a_n) \mid \sum a_i = 0\}$ satisfies all subspace axioms and is correct.
- $W = \{(a_1, \dots, a_n) \mid a_1 a_n \gt 0\}$ does not contain the zero vector (since $0 \cdot 0 = 0 \ngtr 0$).
- Fails because it excludes vectors with $a_2 = 0$ (undefined division), so $\mathbf{0} \notin W$.
- $W = \{(a_1, \dots, a_n) \mid a_i \ge 0\}$ is not closed under scalar multiplication by negative scalars.
सदिश समष्टि $V$ का एक उपसमुच्चय $W$ एक उपसमष्टि (subspace) होता है यदि और केवल यदि:
- शून्य सदिश $\mathbf{0} \in W$ हो।
- यह सदिश योग के अंतर्गत संवृत (closed under addition) हो।
- यह अदिश गुणन के अंतर्गत संवृत (closed under scalar multiplication) हो।
$W = \{(a_1, \dots, a_n) \mid \sum a_i = 0\}$ के लिए:- $\sum 0 = 0$, अतः $\mathbf{0} \in W$ है।
- यदि $\sum u_i = 0$ और $\sum v_i = 0$, तो $\sum (u_i + v_i) = 0$ होगा।
- $\sum c u_i = c \cdot 0 = 0$ होगा।
अतः यह एक वैध उपसमष्टि है।
विकल्पों का विस्तृत विश्लेषण:
- $W = \{(a_1, \dots, a_n) \mid \sum a_i = 0\}$ उपसमष्टि के सभी नियमों को संतुष्ट करता है, अतः सही है।
- इसमें शून्य सदिश नहीं है ($0 \cdot 0 = 0 \ngtr 0$)।
- $a_2 = 0$ पर अपरिभाषित है, अतः शून्य सदिश इसमें नहीं है।
- ऋणात्मक अदिशों से गुणा करने पर संवृत नहीं रहता।
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