The determinant of the $7 \times 7$ anti-diagonal matrix $A$ having $1$s on the anti-diagonal and $0$s elsewhere is:
$7 \times 7$ प्रति-विकर्ण (एंटी-डायगोनल) आव्यूह $A$, जिसके प्रति-विकर्ण पर $1$ और अन्य सभी स्थान पर $0$ हैं, का सारणिक मान क्या है?
EXPLANATION
Matrices and Determinants: Matrix Operations, Rank, Inverse, Systems of Linear Equations and Eigenvalues
Determinant of exchange / reversal matrix:
- $+1$ is obtained when $n(n-1)/2$ is even.
- The standard $n \times n$ exchange matrix $J_n$ with ones along the anti-diagonal has determinant given by $\det(J_n) = (-1)^{\frac{n(n - 1)}{2}}$. For $n = 7$: $\frac{7 \times 6}{2} = 21$. Therefore, $\det(A) = (-1)^{21} = -1$.
- permutation matrix can only have determinant $+1$ or $-1$.
- $-2$ is impossible for a permutation matrix.
प्रति-विकर्ण आव्यूह के सारणिक की गणना:
- $+1$ तब होता है जब घात सम हो।
- प्रति-विकर्ण पर $1$ रखने वाले $n \times n$ आव्यूह का सारणिक $\det(J_n) = (-1)^{\frac{n(n - 1)}{2}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है। यहाँ $n = 7$ हेतु घात $\frac{7 \times 6}{2} = 21$ (विषम) है। अतः सारणिक का मान $(-1)^{21} = -1$ होता है।
- क्रमचय आव्यूह का सारणिक केवल $\pm 1$ हो सकता है।
- $-2$ असंभव है।
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